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Tema 5: Teor

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Una cola es una l nea de espera para determinado servicio ... de la cola, que es la existencia de momentos en los que hay una mayor demanda de ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Tema 5: Teor


1
Tema 5 Teoría de colas
  • Ezequiel López Rubio
  • Departamento de Lenguajes y Ciencias de la
    Computación
  • Universidad de Málaga

2
Sumario
  • Conceptos básicos
  • Cola M M 1
  • Cola M M c
  • Cola M M 1 k
  • Redes de colas
  • Redes de Jackson abiertas
  • Redes de Jackson cerradas

3
Conceptos básicos
4
Concepto de cola
  • Una cola es una línea de espera para determinado
    servicio
  • Este servicio lo proporciona uno o varios
    dependientes
  • La teoría de colas analiza la causa de la
    formación de la cola, que es la existencia de
    momentos en los que hay una mayor demanda de
    servicio que la capacidad de servicio

5
Clasificación de sistemas de colas
  • Llamaremos clientes, trabajos o tareas a los que
    demandan servicio, y dependientes, empleados o
    servidores a los que ofrecen servicio
  • Un sistema de colas viene dado por varias
    características
  • 1º Modelo de llegada de clientes, El índice de
    llegadas será el número medio de llegadas por
    unidad de tiempo, Alternativamente podemos usar
    el tiempo entre llegadas, que es el tiempo medio
    entre llegadas sucesivas

6
Clasificación de sistemas de colas
  • 2º Modelo de servicio, Puede venir dado por el
    tiempo de servicio o por el número de clientes
    atendidos por unidad de tiempo, Tendremos una
    variable aleatoria o bien un servicio
    determinista, Aquí supondremos que el modelo de
    servicio es independiente del de llegada
  • 3º Disciplina de la cola, Establece el orden en
    que se va atendiendo a los clientes
  • Por orden de llegada (FIFO)
  • Por orden inverso al de llegada (LIFO)
  • Selección aleatoria (RANDOM)
  • Según prioridades (PRIORITY, PR), Dos subtipos
  • Con interrupción, Si llega un cliente de más
    prioridad, el trabajo que se estaba sirviendo se
    interrumpe para atenderlo
  • Sin interrupción, No se pueden interrumpir los
    trabajos
  • Dentro de cada clase de prioridad se podrán
    aplicar disciplinas LIFO, FIFO o RANDOM,

7
Clasificación de sistemas de colas
  • 4º Capacidad del sistema, Es el número máximo de
    clientes que puede haber en el sistema (finito o
    infinito), Si llega un cliente y el sistema está
    lleno, se marcha,
  • 5º Número de canales de servicio, Es el número de
    dependientes, Puede haber una cola para cada
    dependiente o bien una sola cola global
  • 6º Número de estados de servicio, Puede haber
    varias partes en las que se subdivide el trabajo
    (estados), cada una con su cola y su dependiente,
    que deben ser completadas sucesivamente, P, ej,,
    tres estados

8
Notación de Kendall
  • La notación de Kendall nos permite escribir
    resumidamente todas las características que hemos
    estudiado, Un sistema de colas se notará como A
    B X Y Z V, donde
  • A es el modelo de llegadas, Valores posibles
  • Mtiempos entre llegadas exponenciales
  • Dtiempos entre llegadas deterministas
  • Gtiempos entre llegadas generales (cualquier
    distribución)
  • B es el modelo de servicio, Puede tomar los
    mismos valores que A

9
Notación de Kendall
  • X es el número de dependientes (servidores)
  • Y es la capacidad del sistema (número máximo de
    clientes en el sistema), Se puede omitir si es
    infinita
  • Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO
  • V es el número de estados de servicio, Se puede
    omitir si es 1
  • Por ejemplo, M M 1 ? FIFO 1 se escribe
    abreviadamente M M 1

10
Medidas de rendimiento
  • Una vez descrito el sistema, nuestro objetivo es
    evaluar su rendimiento, Para ello tenemos varias
    medidas de rendimiento
  • Número medio de clientes en el sistema, notado L
  • Tiempo medio de espera de los clientes, W
  • Número medio de clientes en la cola, Lq
  • Tiempo medio de espera en cola de los clientes,
    Wq

11
Cola M M 1
12
Descripción del modelo
  • Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y
    un solo servidor, La disciplina será FIFO
  • Las llegadas se producen según un proceso de
    Poisson de razón ?, donde ? es el número medio de
    llegadas por unidad de tiempo y 1/? es el tiempo
    medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas
    se distribuirán exponencialmente, Exp(?)
  • Los tiempos entre servicios también se
    distribuirán exponencialmente, Exp(?), de tal
    manera que ? es el número medio de clientes que
    el servidor es capaz de atender por unidad de
    tiempo y 1/? es el tiempo medio de servicio

13
Condición de no saturación
  • Se demuestra que si ???, el sistema se satura, es
    decir, el número de clientes en la cola crece
    indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
    la condición de no saturación será
  • Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se
    saturan, Cuando una cola no se satura, también se
    dice que alcanza el estado estacionario,

14
Probabilidades
  • El parámetro ? se llama carga, flujo o intensidad
    de tráfico del sistema, puesto que mide la
    relación entre la cantidad de trabajos que llegan
    y la capacidad de procesarlos
  • Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce
    la siguiente fórmula para las probabilidades pn
    de que haya n clientes en el sistema, donde n?N

15
Medidas de rendimiento
  • El número medio de clientes en el sistema, L, se
    calcula así

Sumamos la serie aritmético-geométrica
16
Medidas de rendimiento
  • La utilización del dependiente, notada U, es la
    fracción de tiempo (en tanto por uno) que el
    dependiente permanece ocupado, Para hallarla, nos
    valemos de que cuando no hay saturación, el
    número medio de clientes que entran en el sistema
    debe ser igual al número medio de clientes que
    salen de él
  • Como para deducir la anterior fórmula no hemos
    usado ninguna característica especial del modelo
    de entrada ni del de salida, dicha fórmula es
    válida para colas G G 1

17
Medidas de rendimiento
  • El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio
    que un trabajo permanece en el sistema, Si
    suponemos que un trabajo, al llegar al sistema,
    se encuentra con que hay por delante de él otros
    j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir
    del sistema será j1 veces el tiempo medio de
    servicio, Por lo tanto

Tiempo que se pasa en el sistema si hay j por
delante al llegar
Probabilidad de que haya j por delante al llegar
18
Medidas de rendimiento
  • Podemos simplificar algo más
  • El tiempo medio de espera en la cola Wq se
    hallará restando a W el tiempo que tarda en ser
    servido el trabajo (esto es válido para cualquier
    tipo de cola)
  • En el caso particular de una cola M M 1,
    obtenemos

19
Ejemplo
  • Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora
    a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las
    da un dependiente pagado con 5 /hora y que tarda
    como media 5 min en servir, Cada hora que tiene
    que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta
    al taller 10 , Queremos saber si merece la pena
    contratar a un ayudante de dependiente, pagado
    con 4/hora, de forma que el tiempo medio de
    servicio se reduzca a 4 min
  • Nota Al resolver un problema de colas, tener
    siempre muy presente la coherencia de unidades

20
Ejemplo
  • Tenemos dos opciones
  • Sin ayudante 1/?1 5 min 1/12 h
  • Con ayudante 1/?2 4 min 1/15 h
  • En ambos casos, ? 10 clientes/h
  • Opción 1 (sin ayudante)

Por tanto, perdemos 5(10/h) 50/h
21
Ejemplo
  • Opción 2 (con ayudante)
  • Por tanto, perdemos 2(10/h) 20/h debido a la
    espera de los mecánicos, Pero también perdemos
    4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto,
    las pérdidas totales son 24/h
  • En la opción 1 perdemos 50/h y en la opción 2
    perdemos 24/h, con lo cual la más ventajosa es
    la opción 2,

22
Más medidas de rendimiento
  • El número medio de trabajos en la cola Lq, se
    calcula restándole a L el número medio de
    trabajos que están siendo servidos
  • Probabilidad de que un cliente que llega pase más
    de t unidades de tiempo en el sistema
  • Probabilidad de que un cliente que llega pase más
    de t unidades de tiempo en la cola

23
Ejemplos
  • Ejemplo Un canal de comunicación se usa para
    enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno
    central, Cada fuente envía paquetes de datos
    según un proceso de Poisson de razón 2
    paquetes/seg, Además cada fuente envía
    independientemente de las otras, Todos los
    paquetes son idénticos, esperan en una cola común
    y después se transmiten de uno en uno, Los
    tiempos de transmisión se distribuyen
    exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar
    el número máximo de fuentes que se pueden
    conectar al canal de tal manera que

24
Ejemplos
  • 1º El canal no se sature
  • Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k
    paquetes/seg, Por otro lado, 1/? 0,025 seg ? ?
    40 paquetes/seg
  • El canal no se satura cuando ?lt1

25
Ejemplos
  • 2º En media los paquetes no pasen en el sistema
    más de 100 mseg
  • Tal como ocurría en el apartado anterior,
    llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos ?
    40 paquetes/seg
  • Nos exigen W?0,1 seg

26
Ejemplos
  • 3º En el estado estacionario se garantice que al
    menos el 95 de los paquetes tenga un tiempo de
    respuesta que no exceda de 100 mseg
  • Tal como ocurría en el apartado anterior,
    llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos ?
    40 paquetes/seg
  • Nos exigen que la probabilidad de que un paquete
    pase más de 100 mseg en el sistema sea inferior
    al 5, es decir, W(100 mseg)?0,05

27
Ejemplos
  • Ejemplo Supongamos que una cola MM1 con
    parámetros ? y ? se sustituye por n colas MM1
    independientes de parámetros ?/n y ?/n, Es decir,
    dividimos la carga de trabajo y la capacidad de
    proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto
    del cambio usando como medidas de rendimiento el
    tiempo medio de respuesta y el número medio de
    trabajos en el sistema


28
Ejemplos
  • Alternativa 1 (una sola cola), ?1?, ?1 ?
  • Alternativa 2 (n colas independientes), ?2?/n,
    ?2?/n

29
Ejemplos
  • Como la alternativa 1 tiene menores valores para
    ambas medidas de rendimiento, concluimos que la
    dicha alternativa es mejor
  • Esto nos indica que lo mejor es no dividir la
    capacidad de procesamiento, es decir, tener un
    único servidor que atienda a todos los clientes

30
Teorema de Little
  • Sea un sistema de colas con cualquier
    distribución de llegadas y servicios y cualquier
    estructura, Sean L el número de trabajos
    presentes en el sistema en el estado
    estacionario, W es tiempo medio de respuesta en
    el estado estacionario y ? la razón de llegadas
    al sistema, Entonces

31
Teorema de Little
  • Explicación intuitiva Supongamos que cobramos 1
    a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa
    en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de
    medir las ganancias
  • Colocando un recaudador a la entrada del sistema,
    le cobrará como media W a cada uno de los ?
    trabajos que vea pasar por unidad de tiempo
  • Cada vez que transcurre una unidad de tiempo,
    cobro 1 a cada uno de los L trabajos que como
    media hay en ese instante en el sistema

32
Teorema de Little
  • Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del
    sistema al servidor, obtengo el siguiente
    resultado, también muy útil
  • Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para
    ayudarnos a obtener los valores de las medidas de
    rendimiento, aunque necesitaremos otras
    ecuaciones para poder conseguir resultados
    explícitos

33
Cola M M c
34
Descripción del modelo
  • Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y
    c servidores, La disciplina será FIFO
  • Las llegadas se producen según un proceso de
    Poisson de razón ?, donde ? es el número medio de
    llegadas por unidad de tiempo y 1/? es el tiempo
    medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas
    se distribuirán exponencialmente, Exp(?)
  • Los tiempos de servicio también se distribuirán
    exponencialmente, Exp(?), de tal manera que ? es
    el número medio de clientes que cada servidor es
    capaz de atender por unidad de tiempo y 1/? es el
    tiempo medio de servicio

35
Condición de no saturación
  • Se demuestra que si ??c?, el sistema se satura,
    es decir, el número de clientes en la cola crece
    indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
    la condición de no saturación será
  • Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se
    saturan, Cuando una cola no se satura, también se
    dice que alcanza el estado estacionario,

36
Probabilidades
  • Suponiendo que el sistema no se satura, se
    deducen las siguientes fórmulas para las
    probabilidades pn de que haya n clientes en el
    sistema, donde n?N

37
Medidas de rendimiento
  • Número medio de clientes en cola
  • Usamos razonamientos ya vistos para obtener

38
Otras medidas de rendimiento
  • Número medio de servidores ocupados, S, En el
    estado estacionario, la razón de las salidas será
    igual a la razón de las llegadas
  • Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar
    para recibir su servicio (fórmula de retraso de
    Erlang)

39
Ejemplos
  • Ejemplo Usando L como medida de rendimiento,
    comparar estas dos alternativas

Alternativa 1
Alternativa 2
40
Ejemplos
  • Alternativa 1
  • Alternativa 2

41
Ejemplos
42
Ejemplos
  • Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de
    cumplirse que L1ltL2
  • Como ?lt1 siempre se cumple, tendremos que la
    alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no
    conviene dividir la capacidad de procesamiento en
    dos servidores

43
Ejemplos
  • Ejemplo Usando el número medio de clientes en el
    sistema como medida de rendimiento, comparar
    estas dos alternativas

Alternativa 2
Alternativa 1
44
Ejemplos
  • Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas)
  • Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo
    anterior)

45
Ejemplos
  • Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de
    cumplirse que L1gtL2
  • Como ?gt0 siempre se cumple, tendremos que la
    alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no
    conviene poner dos colas, sino tener una única
    cola global

46
Ejemplos
  • Ejemplo En una copistería se dispone de 3
    máquinas fotocopiadoras a disposición del
    público, Cada máquina es capaz de servir, por
    término medio, 8 trabajos cada hora, A la
    copistería llegan como promedio 5 clientes a la
    hora,
  • Parámetros del sistema ? 5 clientes/h, ? 8
    clientes/h, c 3 servidores, El sistema no se
    satura porque ?lt1,

47
Ejemplos
  • Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas
    estén libres a la vez?
  • Cuál es el número medio de clientes en la cola?

48
Ejemplos
  • Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?
  • Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?
  • Cuál es el número medio de clientes en el
    sistema?

49
Cola M M 1 k
50
Descripción del modelo
  • Hay una sola cola, cuya disciplina será FIFO, La
    capacidad del sistema es limitada, de tal modo
    que sólo puede haber k clientes como máximo en el
    sistema, Por lo tanto, el número máximo de
    clientes en la cola es k1, Si un cliente llega y
    el sistema está lleno, es rechazado y nunca más
    regresa
  • Las llegadas se producen según un proceso de
    Poisson de razón ?, Los tiempos entre llegadas se
    distribuirán exponencialmente, Exp(?)
  • Los tiempos entre servicios también se
    distribuirán exponencialmente, Exp(?), de tal
    manera que ? es el número medio de clientes que
    el servidor es capaz de atender por unidad de
    tiempo

51
Probabilidades
  • El sistema nunca se satura, ya que la capacidad
    es limitada
  • Se deduce la siguiente fórmula para las
    probabilidades pn de que haya n clientes en el
    sistema, donde n?0, 1, 2, , k

52
Probabilidades
  • El valor de ? determina cómo varían los pn
  • Si ?lt1, los estados más probables son los de
    menor número de clientes, porque la oferta de
    servicio supera a la demanda
  • Si ?gt1, los estados más probables son los de
    mayor número de clientes, porque la demanda de
    servicio supera a la oferta
  • Si ?1, todos los estados son equiprobables,
    Podemos llegar a la fórmula del caso ?1
    aplicando la regla de LHôpital al límite para
    ??1 de la fórmula del caso ??1
  • Si hacemos k??, llegamos al modelo M M 1

53
Medidas de rendimiento
  • Tasa efectiva de llegadas, ?ef, Es el número
    medio de clientes admitidos al sistema por unidad
    de tiempo de entre los ? que intentan entrar
    (?eflt?)
  • Número medio de clientes en el sistema (este
    valor siempre debe ser inferior a k)

54
Medidas de rendimiento
  • Podemos obtener las demás medidas de rendimiento
    mediante razonamientos ya vistos, teniendo en
    cuenta que la tasa efectiva de llegadas al
    sistema es ?ef

55
Ejemplo
  • A un taller mecánico llegan vehículos para el
    cambio de pastillas de freno, Los coches llegan a
    un promedio de 18 a la hora según un proceso de
    Poisson, El espacio físico del taller sólo
    permite que haya 4 vehículos, y las ordenanzas
    municipales prohíben esperar fuera, El taller
    puede servir a un promedio de 6 coches por hora
    de acuerdo a una distribución exponencial,
  • Parámetros del sistema ? 18 vehículos/h, ? 6
    vehículos/h, k 4 vehículos

56
Ejemplo
  • Cuál es la probabilidad de que no haya ningún
    vehículo en el taller?
  • Cuál es el promedio de vehículos que hay en el
    taller?

57
Ejemplo
  • Cuánto tiempo pasa por término medio un coche en
    el taller?

58
Ejemplo
  • Cuánto tiempo esperan por término medio en la
    cola los coches?
  • Cuál es la longitud media de la cola?

59
Redes de colas
60
Redes de colas
  • Una red de colas es un sistema donde existen
    varias colas y los trabajos van fluyendo de una
    cola a otra
  • Ejemplos
  • Fabricación (trabajosartículos)
  • Oficinas (trabajosdocumentos)
  • Redes de comunicaciones (trabajospaquetes)
  • Sistemas operativos multitarea (trabajostareas)

61
Enrutado de trabajos
  • Criterios para decidir a qué cola se dirige un
    trabajo que acaba de salir de otra
  • Probabilístico se elige una ruta u otra en
    función de una probabilidad (puede haber
    distintos tipos de trabajos, cada uno con sus
    probabilidades)
  • Determinista cada clase de trabajo se dirige a
    una cola fija

62
Tipos de redes de colas
  • Se distinguen dos tipos de redes de colas
  • Abiertas Cada trabajo entra al sistema en un
    momento dado, y tras pasar por una o más colas,
    sale del sistema, Dos subtipos
  • Acíclicas Un trabajo nunca puede volver a la
    misma cola (no existen ciclos)
  • Cíclicas Hay bucles en la red
  • Cerradas Los trabajos ni entran ni salen del
    sistema, Por lo tanto permanecen circulando por
    el interior del sistema indefinidamente,
    Usualmente existe un número fijo de trabajos,

63
Red abierta acíclica
64
Red abierta cíclica
65
Red cerrada
66
Redes de Jackson abiertas
67
Definición
  • Una red de colas abierta se dice que es de
    Jackson sii
  • Sólo hay una clase de trabajos
  • Los enrutados son probabilísticos, donde rij ? 0
    es la probabilidad de ir al nodo j después de
    haber salido del nodo i, Por otro lado, ri0 es la
    probabilidad de abandonar del sistema después de
    haber salido del nodo i, donde ri0 1 ?jrij
  • Cada nodo i es una cola .Mci
  • La tasa de llegadas externas al nodo i se notará
    ?i
  • El número total de nodos de la red se notará K

68
Ecuaciones de equilibrio
  • Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe
    ser igual al flujo total de salida del nodo,
    tendremos que
  • Las K ecuaciones anteriores forman un sistema
    lineal con solución única, que resolveremos para
    hallar las tasas de llegada a cada nodo ?i

69
Condición de no saturación
  • Para que ninguna de las colas del sistema se
    sature, es preciso que se cumpla la siguiente
    condición
  • Nota Se trata de la condición de no saturación
    del modelo MMc, aplicada a cada uno de los
    nodos por separado

70
Teorema de Jackson para redes abiertas
  • Teorema Sea una red de Jackson abierta que
    cumple la condición de no saturación, Entonces en
    el estado estacionario, la distribución del
    número de clientes en cada nodo es la que sigue

donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni
clientes en el nodo i, calculada según las
ecuaciones del modelo MMc
71
Consecuencias del teorema
  • Corolario Las medidas de rendimiento para cada
    nodo se calculan según las ecuaciones del modelo
    MMc, Además se tendrán las siguientes medidas
  • Tasa global de salidas del sistema (throughput),
    que es el número medio de trabajos que salen del
    sistema por unidad de tiempo, Coincide con el
    número de trabajos que entran en el sistema

72
Consecuencias del teorema
  • Número medio de trabajos en el sistema, Lred, que
    es la suma de los número medios de trabajos en
    cada uno de los nodos
  • Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el
    tiempo medio que pasa una tarea desde que entra
    en la red hasta que sale de ella

73
Consecuencias del teorema
  • Razón de visitas al nodo i, Vi, que es el número
    medio de veces que un trabajo visita el nodo i
    desde que entra en la red hasta que sale

Nota en una red acíclica habrá de cumplirse que
Vi?1 ?i?1,2,,,,,K, ya que cada tarea visitará
cada nodo a lo sumo una vez
74
Ejemplo (red acíclica)
1,5
0,2
0,8
0,6
0,4
1
0,5
75
Ejemplo (red acíclica)
  • Ecuaciones de equilibrio
  • En el ejemplo, ?11,5 r120,2 r130,8 r340,6
    r350,4 ?60,5 r651 con lo cual la solución
    es

76
Ejemplo (red acíclica)
  • Condición de no saturación (se cumple porque
    ?ilt1)
  • Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo
    MM1)

77
Ejemplo (red acíclica)
78
Red abierta cíclica
0,2
0,3
0,7
0,1
0,8
0,9
0,6
79
Ejemplo (red cíclica)
  • Ecuaciones de equilibrio
  • En el ejemplo, ?10,2 r120,3 r130,7 ?30,8
    r530,6 r340,1 r350,9 con lo cual la
    solución es

80
Ejemplo (red cíclica)
  • Condición de no saturación (se cumple porque
    ?ilt1)
  • Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo
    MM1)

81
Ejemplo (red cíclica)
82
Redes de Jackson cerradas
83
Definición
  • Una red de colas cerrada se dice que es de
    Jackson sii
  • Sólo hay una clase de trabajos
  • Los enrutados son probabilísticos, donde rij ? 0
    es la probabilidad de ir al nodo j después de
    haber salido del nodo i,
  • Cada nodo i es una cola .Mci
  • Hay una cantidad constante M de trabajos en el
    sistema
  • El número total de nodos de la red se notará K

84
Ecuaciones de equilibrio
  • Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe
    ser igual al flujo total de salida del nodo,
    tendremos que
  • Las K ecuaciones anteriores forman un sistema
    lineal indeterminado con un grado de libertad,
    que resolveremos para hallar las tasas de llegada
    relativas a cada nodo ?i, Para ello fijaremos un
    valor positivo arbitrario para una incógnita, por
    ejemplo ?11

85
Análisis del valor medio
  • Hallaremos las siguientes medidas de rendimiento
    para M tareas en el sistema
  • Li(M)Número medio de tareas en el nodo i
  • Wi(M)Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo
    i cada vez que lo visita
  • ?i(M)Tasa real de salidas del nodo i
  • Se trata de un algoritmo iterativo que va
    calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes
    de m a partir de m0

86
Análisis del valor medio
  • Las ecuaciones son

87
Red cerrada
1
1
0,3
0,7
1
88
Ejemplo (red cerrada)
  • Ecuaciones de equilibrio
  • En el ejemplo, r120,3 r140,7 r231 r311
    r411 con lo cual la solución es, tomando ?11

89
Ejemplo (red cerrada)
90
Ejemplo (red cerrada)
  • Primera iteración

91
Ejemplo (red cerrada)
m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)
0 -- -- -- -- 0 0 0 0
1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043
2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034
3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849
4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401
5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644
6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564
7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173
92
Ejemplo (red cerrada)
L
Cola 1
Cola 4
Colas 2 y 3
m
93
Ejemplo (red cerrada)
W
Cola 1
Cola 4
Colas 2 y 3
m
94
Ejemplo (red cerrada)
Utilización del servidor () U?/? L/(W?)
Cola 1
Cola 4
Colas 2 y 3
m
95
Cuellos de botella
  • Un cuello de botella en un sistema de colas es un
    nodo cuya capacidad de procesamiento determina el
    rendimiento de todo el sistema
  • Definición Sea una red de Jackson cerrada.
    Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii
    Lj(m)?? cuando m??
  • En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de
    botella. Trabaja al límite de su capacidad
    mientras que los otros no (se quedan al 30 o al
    70). Para mejorar el rendimiento global del
    sistema habría que aumentar la capacidad de
    procesamiento del nodo 1
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