Lgica de Primer Orden

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Lógica de Primer Orden
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Ref. Cap VII
http//www.massey.ac.nz/mjjohnso/notes/59302/l07.
html
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Lógica de Primer Orden
La lógica proposicional sólo puede representar
hechos acerca del mundo. La lógica de primer
orden describe un mundo que consta de objetos y
propiedades (o predicados) de esos objetos. Entre
los objetos, se verifican varias relaciones
p.ej. Progenitor(Marcos, José). Una función es
una relación en la cual sólo hay un valor para un
input dado. Ejemplos Objetos gente, casas,
números, planetas,... Relaciones progenitor,
hermano-de, mayor-que,... Propiedades rojo,
pequeño, primo,... Funciones padre-de,
uno-más-que
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Lógica de Primer Orden
Ejemplos Uno más uno igual a dos." Cuadrados
vecinos del Wumpus son malolientes." La lógica de
primer orden es universal porque puede expresar
cualquier cosa que pueda ser programada. Syntaxis
y semántica La lógica de primer orden tiene
sentencias como lógica proposicional y, además,
tiene términos, que representan objetos. Para
construír términos se usan símbolos constantes,
variables y funciones, y cuantificadores y
símbolos predicado son usados para construír
sentencias.
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Lógica de Primer Orden BNF
ltSentenciagt ltSentencia Atómicagt
ltSentenciagt ltConectorgt ltSentenciagt
ltCuantificadorgt
ltVariablegt,... ltSentenciagt
?ltSentenciagt
(ltSentenciagt) ltSentencia Atómicagt
ltPredicadogt(ltTérminogt,...)
ltTérminogt ltTérminogt ltTérminogt
ltFuncióngt(ltTérminogt,...)
ltConstantegt
ltVariablegt ltConectorgt ? ltgt
gt ltCuantificadorgt ? ? ltConstantegt Martin
59302 Gato X ... ltVariablegt a x s
... ltPredicadogt Previo Gusta Llueve
Falla ... ltFuncióngt Padre Cabellode
10043nota ...
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Lógica de Primer Orden
Símbolos constantes A, B, C, 1, Juan,... Cada
símbolo constante nombra a exactamente un objeto
en el mundo, no todos los objetos necesitan tener
nombres y algunos pueden tener más de un
nombre. Símbolos predicado Vecino,
Hermano,... Un símbolo predicado se refiere a una
relación particular en el modelo. Por ejemplo,
Hermano dado que Hermano es un símbolo de
relación binaria, la relación a que se refiere
debe ser también binaria, es decir, debe darse o
fallar entre pares de objetos. Símbolos de
función Coseno, Padrede, PiernaIzquierdade Una
relación funcional relaciona un objeto a
exactamente otro único objeto. El último
elemento en la tupla es el valor de la función
para los otros elementos. ej. Oficinade(María,bas1
.240)
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Lógica de Primer Orden
Términos Un término es una expresión lógica que
se refiere a un objeto. Los símbolos constantes
son términos. Los términos también se pueden
construír a partir de símbolos de funciones y
símbolos de constantes, ej., Padrede(Juan). La
semántica formal de los términos es la siguiente
Una interpretación especifica una relación
funcional referida por el símbolo funcion y
objetos referidos por los símbolos constantes. En
consecuencia, un término función se refiere a el
objeto n1 en una tupla cuyos primeros n
elementos son aquellos referidos por los
argumentos de la función. Sentencias atómicas Una
sentencia atómica está formada por un símbolo
predicado seguido por una lista entre paréntesis
de términos, por ejemplo, Hermano(Roberto,Juan)
indica que el objeto referido por Roberto es el
hermano del objeto referido por Juan.
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Lógica de Primer Orden
Las sentencias atómicas pueden tener argumentos
que son términos complejos Casado(Padrede(Robert
o),Madrede(Juan)) Sentencias complejas Podemos
usar conectores lógicos para construír sentencias
más complejas. La semántica de éstas es la misma
usada en lógica proposicional. Ejemplos Hermano(R
oberto,Juan) ? Hermano(Juan,Roberto) es verdad en
el caso en que Juan es hermano de Roberto y
Roberto es hermano de Juan. Mayor(Juan,30) ?
Menor(Juan,30) es verdad cuando Juan es mayor de
30 o es menor que 30.
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Lógica de Primer Orden
Cuantificadores Nos permiten expresar propiedades
de colecciones de objetos. Hay dos
cuantificadores en lógica de primer orden
universal y existencial. Cuantificación
universal (?) Usando esta cuantificación podemos
decir cosas tal como, Todos los hamsters son
mamíferos." ?x Hamster(x) ?Mamifero(x) En
consecuencia, una sentencia ?x ?(x) es verdad en
un modelo solo si ? es verdad para todos los
objetos en el modelo.
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Lógica de Primer Orden
Notar la diferencia entre ?x Hamster(x)?Mamifero(
x) y ?x Hamster(x)?Mamifero(x) Las afirmaciones
universales son verdad si son verdad para cada
individuo en el mundo. Se pueden pensar como una
conjunción infinita. Cuantificación
existencial Realiza afirmaciones acerca de al
menos algún objeto. Para decir, por ejemplo que
Mancha tiene una hermana que es un hamster,
escribimos ?x Hermana(x,mancha) ? Hamster(x) ?x
P es verdad si P es verdad para algún objeto en
el mundo. Se puede pensar como una disyunción
infinita. Cuantificadores anidados Se pueden
realizar afirmaciones muy complejas si se anidan
cuantificadores.
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Lógica de Primer Orden
Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos
decir cosas como ?x,y Progenitor(x,y) ?
Hijo(y,x) También podemos mezclar
cuantificadores, ?x?y Buenopara(x,y) Todos
somos buenos para alguna cosa" Conexiones entre ?
y ? Hay una íntima conexión entre los dos
cuantificadores. Para ver esto, considerar la
sentencia ?x ?Gusta(x,LideresDecepcionantes) Para
todo x, x no gusta de los líderes
decepcionantes." Otra forma de decir esto es, No
existe un x que guste de los líderes
decepcionantes. ??x Gusta(x,LideresDecepcionante
s) Esto es verdad en general porque ? es una
conjunción sobre todos los objetos y ? es una
disyunción sobre todos los objetos.
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Lógica de Primer Orden
De hecho, todo lo siguiente también es verdad ?x
?P ? ??x P         ?P??Q ? ?(P?Q)               
               ??x P ? ?x ?P           ?(P?Q) ?
?P ? ?Q                              ?x P ? ??x
?P           P ? Q ? ?(?P ? ?Q)                   
           ?x P ? ??x ?P           P ? Q ? ?(?P ?
?Q) Igualdad Con frecuencia el símbolo de
igualdad se incluye como un símbolo especial.
Esto se debe a que la noción de igualdad es muy
importante en nuestro modo de pensar. Con este
símbolo, podemos escribir cosas como
Padre(Juan)Jose, con el objeto de afirmar que el
objeto que es padre de Juan es el mismo que el
objeto José. Igualdad puede ser pensada como un
símbolo de relación binaria ordinaria, así la
interpre-tación de es un conjunto de pares.
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Lógica de Primer Orden
La igualdad puede ser usada para decir que hay
dos o más individuos con una propiedad
particular ?x,y Hermana(Mancha,x) ?
Hermana(Mancha,y) ? ?(xy) Hay un x y un y que
son hermanas de Mancha y no son el mismo
individuo." El símbolo de igualdad también puede
ser usado para restringir el número de objetos
que tienen cierta propiedad, por ejemplo, ?x,y
P(x) ? P(y) ? xy Todo par de objetos con la
propiedad P son iguales." Esta afirmación los
restringe a ser un objeto con la propiedad P. Con
frecuencia se usa la forma reducida ?! x Rey(x)
que significa ?x Rey(x) ? ?y Rey(y) ? xy
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Lógica de Primer Orden
En la representación del conocimiento, un dominio
es una sección del mundo acerca del cual deseamos
expresar algún conocimiento. Un ejemplo simple y
muy conocido del uso de LPO para codificar
dominios es el dominio de relaciones
familiares. Axiomas, Definiciones y Teoremas Los
axiomas capturan los hechos básicos acerca de un
dominio. Los axiomas son luego usados para probar
teoremas. Haciendo preguntas y obteniendo
respuestas Para agregar sentencias a la base de
conocimiento, llamamos a TELL, por ej., TELL(KB,
?m,c Madre(c)m ? Hembra(m) ? Progenitor(m,c)) TEL
L se usa para axiomas(como aquí arriba) y hechos
específicos acerca de una situación particular
como TELL(KB,(Hembra(Maxi)?Progenitor(Maxi,Mancha)
?Progenitor(Mancha,Boots)))
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Lógica de Primer Orden
Con el agregado de estos hechos podemos
ASK(KB,Abuela(Maxi,Boots)) Y recibir respuesto
si/no. También podemos hacer preguntas para
obtener información adicional en las respuestas,
como ASK(KB, ?x hijo(x,Mancha)). Aquí no solo
queremos la respuesta si/no, querríamos conocer
el término x que denota objetos en el dominio. En
general, para un query con variables
existencialmente cuantificadas, queremos conocer
las particularizaciones de dichas variables.
Entonces, ASK retorna una lista de
particularizaciones, ej., x/boots.
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Agentes lógicos para el mundo de Wumpus

• Agente reflejo. Meramente clasifica sus
  percepciones y actúa de acuerdo a dicha
  clasificación.
• Agente basado en modelo. Construye una
  representación interna del mundo y la usa para
  actuar.
• Agente basado en objetivos. Forma objetivos y
  trata de alcanzarlos

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Agentes lógicos para el mundo de Wumpus
El primer paso es definir la interface entre el
agente y el mundo. La secuencia de percepción
debe contener las percepciones y el momento en
que ocurrieron. Usaremos enteros para las etapas
temporales, asi una típica sentencia de
percepción sería Percepcion(Hedor,Brisa,Brillo,Na
da,Nada,5) La acción del agente debe ser una
de Girar(Derecha), Girar(Izquierda), Avanzar,
Disparar, Tomar, Liberar, Trepar Para determinar
cuál es la mejor acción, creamos un query tal
como Accion(a,5). Si hemos presentado las cosas
de manera correcta, este query retornará una
lista de particularizac. tal como a/Tomar.
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Cálculo de situación
Cálculo de situación es el nombre dado a un modo
particular de describir cambio en LPO. Concibe al
mundo como una secuencia de situaciones, cada una
de las cuales es un instante en el estado del
mundo. Las situaciones son generadas a partir de
situaciones previas por medio de acciones. Cada
relación cuya verdad pueda cambiar con el tiempo,
es manejada dándole un argumento extra de
situación al correspondiente símbolo de
predicado. Por convención, ubicamos el argumento
de situación siempre al final. Así, en vez de
En(Agente,Ubicacion), deberemos tener
En(Agente,1,1,S0) ? En(Agente,1,2,S1). Las
relaciones o propiedade que no cambian con el
tiempo no necesitan el argumento extra, ej.,
ParedEn(0,1).
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Cálculo de situación