Title: APROXIMACIN PUNTO SILLA PARA LA DISTRIBUCIN DEL TAMAO DE LA POBLACIN, EN ESTADO DE EQUILIBRIO EN UN
1APROXIMACIÓN PUNTO SILLA PARA LA DISTRIBUCIÓN
DEL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN, EN ESTADO DE
EQUILIBRIO EN UN MODELO LOGÍSTICO ESTOCÁSTICO
Profesores Guía Srta. Mª Angélica Maulén
Sr. Eduardo González Sra. Inés
Guerrero
Alumnas Amelia Herrera B. Montserrat
Soto F.
Trabajo final para optar al Grado de Estadístico
2Mostrar un ejemplo práctico de un modelo
ecológico, desarrollando una aproximación para la
distribución del tamaño poblacional en estado de
equilibrio
OBJETIVO GENERAL
3OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Aplicar el método de aproximación Punto Silla
(SP) para la distribución del tamaño de la
población de un modelo propuesto por Pielou - Mostrar distintas aproximaciones para los
parámetros involucrados en el método - Comparar las distintas aproximaciones para
mostrar sus bondades
4.
FORMULACIÓN
Sean Tamaño de la población P(n,t)
Probabilidad de que el tamaño de la población
o estado en el instante t sea n
Se trabaja considerando la población en estado de
equilibrio, es decir
Llamada también Ecuación de Balance
5.
Sean ?n y ?n Tasas de nacimiento y muerte,
respectivamente, cuando la población se encuentra
en el estado o tamaño n.
En nuestro caso se considera
6Modelo Determinista en estado de Equilibrio
(Verhulst-Pearl)
Donde
aa1-a2 y bb1b2, a,b 0
El modelo determinista al precisarlo como es
mas bien llamado modelo Logístico
7.
Modelo estocástico logístico propuesto por
Bartlett (1960), en estado de Equilibrio
La probabilidad de nacimiento o muerte para una
población de tamaño n en un intervalo de tiempo
pequeño es y , para
n
El límite superior para tamaño poblacional
8Modelo estocástico en estado de Equilibrio
Su solución es
donde como , se tiene que y así
encontramos P(n), para ngt1
9P(1), en general es muy pequeño, por loque
Pielou (1977) perfila una variación útil que
pivotea sobre la probabilidad de algún tamaño
cercano para n , en lugar del tamaño n1.
10Cumulantes Exactos
Los tres primeros cumulantes, la media, la
varianza y la asimetría de la distribución son
los siguientes
11.
Aproximaciones de Bartlett para la media,
varianza, y coeficiente asimetría
Con
Estas medidas son ampliamente calculadas en la
práctica debido a su simplicidad. Sin embargo, no
tiene aclarado como se podría usar para aproximar
la distribución.
.
12.
Aproximaciones de Cumulantes Mejoradas
Matis y Kiffe (1996) encuentran aproximaciones
para los cumulantes considerando las ecuaciones
siguientes, para todo tgt0 .
13 Cumulantes aproximados en estado de equilibrio,
se obtienen poniendo las derivadas iguales a 0, y
solucionando las tres ecuaciones con tres
incógnitas (con K4(t)0 ). Para simplificar se
resuelven sólo las dos primeras ecuaciones y se
considera
14Las soluciones para las ecuaciones anteriores
son
Con
15Método de Aproximación SP
Una aproximación para la distribución del tamaño
de la población se logra usando una función de
densidad basada en los cumulantes de la
distribución, aún cuando estos no la definen y
está el caso de determinarlo mediante
aproximaciones. Este es el método llamado Punto
Silla (Saddlepoint-SP). Este método es muy útil
pero tiene algunas limitaciones.
16.
La forma analítica es
.
Donde
Una limitación es que
para k3 gt 0 para k3 lt 0
17- Problema Práctico
- .
- Se ilustra modelo de Pielou (1977)
- Se revisa distribución exacta de Bartlett (1960)
- Se describe método SP de Matis-Renshaw (1998),
los que se usan para distribuciones Aproximadas
basadas en cumulantes exactos - Se usan cumulantes con función SP para obtener
aproximaciones para distribución de equilibrio de
interés
18Modelo de Pielou
Los parámetros para ese modelo con normas
específicas son
Los cumulantes exactos calculados usando las
probabilidades son
19.
Las aproximaciones de Bartlett son
Las nuevas aproximaciones de cumulantes mejoradas
por Matis, Renshaw y Kiffe son
20.
Aproximaciones de las Distribución del tamaño de
la población para la población de Pielou
- El porcentaje del error de aproximación se mide
como
21- La aproximación de la distribución se realiza
con - La distribución Normal usando los valores de
cumulantes aproximados de Matis - La aproximación SP con los cumulantes exactos,
de Bartlett y de Matis (en la f(x) nombrada
anteriormente)
22Ejemplo poblacional
Se usó f(x) con cumulantes aproximados (Matis)
Esta aproximación existe para xlt100 la cual
incluye prácticamente todo el rango de interés.
23(No Transcript)
24La siguiente tabla lista los errores máximos,
e(n), en valor absoluto enlos diferentes rangos
de n
?
25(No Transcript)
26.
- Conclusiones
- Es aparente que la aproximación SP proporciona
una muy buena aproximación de la distribución del
tamaño de la población de este modelo - La aproximación SP es claramente más exacta que
la aproximación Normal - La metodología es relativamente fácil de aplicar
27FIN DE LA PRESENTACIÓN
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