Teora de Portfolio

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Teoría de Portfolio
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Cartera y Cartera Eficiente
Cartera, es la combinación de activos o títulos
financieros. Cartera Eficiente, es el conjunto de
inversiones eficientes que proporcionan el
retorno esperado mas alto posible para cualquier
nivel de riesgo o el nivel de riesgo más bajo
posible para cualquier retorno
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Selección de Títulos Bajo Condiciones de Riesgo

• Se seleccionan las alternativas de inversión en
  base a
• Retorno Esperado, y
• Varianza o Desviación Estándar.
• Y se eligen aquellos títulos que no se dominan
  entre sí.

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Retorno Esperado y Riesgo
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Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera
de Dos Activos
Rp v Rs (1- v)Rc
E(Rp) v E(Rs) (1- v)E(Rc)
Donde v Porcentaje a invertir en
ACTIVO S (1 v) Porcentaje a
invertir en ACTIVO C
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Varianza de Una Cartera de Dos Activos
Donde v Porcentaje a invertir en
ACTIVO S (1 v) Porcentaje a
invertir en ACTIVO C
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Varianza del Portfolio, sp2
Es el valor esperado de las desviaciones al
cuadrado de los retornos del portfolio respecto a
los del retorno medio.
sp2 E (Rp Rp)2
_ _ sp2 E
X1(R1j Ri) X2 (R2j R2)2

_ _ sp2 X12 s12 2X1X2 E (Rij
Ri) (R2j R2) X22 s22
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Perfecta Correclación Positiva r 1
Luego
sp2 X22 sc2 (1 Xc)2 ss2 2Xc (1 Xc) 1
sc ss1/2
Esto es (Xcsc (1 Xc) ss)2
O sea, cuando r 1 El Riesgo y Retorno son una
Combinación Lineal. En este caso de Perfecta
Correlación el R y s, de un Portfolio de 2
activos es Promedio Ponderado del Retorno y
Riesgo de los activos individuales, o sea, no se
Diversifica el Riesgo
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Perfecta Correclación Negativa r -1
Luego
sp Xc2 sc2 (1 Xc)2 ss2 -2Xc (1 Xc)sc ss1/2
El valor de sp será siempre menor que cuando r
1. Es mas, cuando r -1 , se puede encontrar
una combinación con Cero Riesgo
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No Correclación entre Activos r 0
El Retorno no varía, pero
sp Xc2 sc2 (1 Xc)2 ss21/2
En esta situación hay un punto donde el riesgo es
menor. Esto puede obtenerse de
sp Xc2 sc2 (1 Xc)2 ss2 2Xc (1-Xc)
scssrcs1/2
Sacar la primera derivada e igualar a cero,
(dsp/dXc0) Igualando a cero
Xc ss2 - scss rcs _____________________
__ sc2 ss2 2scssrcs
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Proporciones Óptimas a Invertir a Invertir en una
Cartera de 2 Activos
vs desv.C (desv.C coef.correl.(c,s)
desv.S) varianza S varianza C 2Cov c,s
Donde v Porcentaje a invertir en
ACTIVO S (1 vs) Porcentaje a
invertir en ACTIVO C
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Covarianza
Es una medida de cómo los retornos de los
activos o títulos se mueven juntos.
N
_
_ Cálculo ss,c S (Rsj Rs)(Rcj Rc)Pj J1
Donde Rs Retorno título S Rc retorno
título C Pj Probabilidad de ocurrencia de
los distintos retornos.
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Varianza de una Cartera de N Activos
En una cartera de N activos se tienen
N varianzas N (N 1) Covarianzas
N
2 N-1 N
VAR( R )
S vj VARj 2 S S vj vi COV(ij) J1
j1 I1

j/i
Donde vy Proporción de la inversión asignada
al valor j vi Proporción de la inversión
asignada al valor i N Número de valores de
la cartera.
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Varianza de una Cartera de N Activos
Si en una cartera de N títulos se invierte en
cada título 1/N, la varianza de cartera. Queda
expresada de la siguiente forma
N
N N
s2(c) S 1/N2
s2j S S 1/N1/N s(ij) J1
j1 I1

j/i
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Varianza de una Cartera de N Activos
Al efectuarse factorizaciones por 1/N en el
primer término de la expresión anterior, y por
(N-1)/N en el segundo término, se llaga a lo
siguiente
__
__

s2(c) 1/N s2j (N-1)/N s(ij)
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Varianza de una Cartera de N Activos

• De la anterior fórmula se desprende que
• La contribución de la varianza de los activos
  individuales respecto a la varianza y la cartera
  tiende a cero en la medida que N sea grande.
• Sin embargo, la contribución de las covarianzas
  se aproxima al promedio de las covarianzas cuando
  N aumenta. Esto implica que una parte del riesgo
  de la cartera (Riesgo de
  Mercado), no se puede eliminar a través de la
  diversificación.

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Cjto. de Oportunidades de Cartera y
Cjto. Eficiente con Muchos Activos Riesgosos
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Cartera Óptima
Aquella que es tangente a la frontera eficiente
con la más alta curva de iso utilidad del
inversionista
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Ejemplo

• Retorno Vapores
• -5,00
• 0,00
• 11,25
• 15,00
• 20,00

Retorno Papeles-Cartones 0,00 5,00 8,75 1
0,00 15,00
Probabilidad 10 20 40 20 10
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Cálculo de los Retornos Esperados de cada Título
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Cálculo del Riesgo de Cada Título
sv 7,5581
s(p-c) 3,7583
Los títulos de Vapores y Papeles
Cartones son inversiones eficientes para formar
una cartera?.
Si puesto que E(Rv) gt E(Rp-c)
s(Rv) gt s(Rp-c) El
Coeficiente de Correlación entre los títulos
Vapores y Papeles-Cartones, es de 0,5
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Ejercicio
Calcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera,
si se invierte

• Vapores
• 10 millones
• 8 millones
• 5 millones
• 3 millones
• 1 millón
• 0 millón

Papeles-Cartones 0 millón 2 millones 5
millones 7 millones 9 millones 10 millones
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Ejercicio

• Retorno Cartera
• Rc 1009 08
• Rc 9
• Rc 8,8
• Rc 8,5
• Rc 8,3
• Rc 8,1
• Rc 8,0

• Riesgo Cartera
• sc 7,5581
• sc 5,7079
• sc 3,2728
• sc 2,4693
• sc 3,0751
• sc 3,7583

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Ejercicio
Cuáles son las proporciones óptimas a invertir
en cada título para que el Riesgo de la cartera
sea mínimo? En Vapores se debe invertir 28,43
y en Papeles-Cartones un 71,57 del
presupuesto. Luego E (Rc) 8,2843 s (c)
2,4637
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Modelo de Fijación de Precios de Activos de
Capital (C.A.P.M.)
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C.A.P.M.

• Supuestos
• Mercado perfecto o eficiente.
• Presencia del Activo de Cero Riesgo.
• Combinar cualquier cartera de la frontera
  eficiente formada con activos riesgosos, con un
  activo sin riesgo.
• Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de
  activos riesgosos (RM) son independientes.
  Luego covarianza entre ellos es igual a cero.
• RM Es la cartera que contiene a todos los
  activos riesgosos de la economía.

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C.A.P.M.

• a. Retorno Cartera E(Rp) (1-x)RF x E(RM).
• b. Riesgo Cartera s2 Rp x2 s2 E(RM).
• Despejando x de b, se tiene
• X s (Rp) S (RM)
• Reemplazando la x calculada en el punto anterior,
  en E(Rp), se tiene la Línea de Mercado de
  Capitales.

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Ecuación Línea de Mercado de Capitales L.M.C.
E(RM) - RF E(Rp) RF -----------------
s(Rp) s (RM)

• Donde E(Rp) Tasa esperada de rendimiento de
  las carteras a lo largo de la
  CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.
• RF Tasa libre de riesgo, ya sea petición
  u otorgamiento de crédito.
• E(RM) Tasa esperada de
  rendimiento sobre la cartera de mercado, M.
• s (RM) Desviación estándar del
  rendimiento sobre la cartera de mercado.
• s (Rp) Desviación estándar de las
  carteras a lo largo de la CML.

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L.M.C. Y Frontera Eficiente
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Retorno Esperado de un Título Individual
El C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de
cualquier activo individual se obtiene en el
punto donde se iguala la pendiente de la Frontera
Eficiente con la pendiente de la L.M.C.
Pendiente L.M.C. d E(Rp) E(RM) RF
d s(Rp) s (RM)
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Pendiente dela Frontera Eficiente

• La pendiente de la Frontera Eficiente se
  determina de la siguiente manera
• Se forma una nueva cartera compuesta por dos
  activos
• Ri retorno de activo i.
• RM Cartera de mercado.
• b. E(Rp) x E(Ri) (1-x) E(RM).
• s2(Rp) x2 s2(Ri) (1-x)2 s2(RM) 2x(1-x)
  cov (Ri,RM)
• x Porcentaje a Invertir en Ri.
• (1-x) Porcentaje a Invertir en RM.

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Pendiente dela Frontera Eficiente

• Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta
  dada por la derivada implícita.
• dE(Rp)
• dE(Rp) dx E(Ri) E
  (RM) s(RM)
• ds(Rp) ds (Rp) cov
  (Ri,RM) s2 (RM)
• dx

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Pendiente dela Frontera Eficiente
Al igualar ambas pendientes E(Ri) E(RM)
s(RM) E(RM) RF Cov (Ri,RM) s2(RM)
s(RM) Y despejando E(Ri), se obtiene
E(Ri) RF E(RM) RF cov (Ri, RM) s2(RM)
La anterior ecuación, indica que existe una
relación lineal entre retorno esperado de un
activo individual y su covarianza con el mercado.
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Ecuación Línea de Mercado de Valores L.M.V.
E(Ri) RF E(RM) RF bi

• Donde E(Ri) Rendimiento esperado o ex ante
  sobre l a i-ésima acción. RF Tasa de
  rendimiento sobre un activo libre de riesgo.
• (RM) Rendimiento esperado o ex ante sobre la
  cartera de mercado.
• bi Medida de riesgo sistemático de la
  i-ésima acción, tal que
• bi cov (Ri,RM)
• s2 (RM)

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Recta del Mercado de Valores
Pendiente E(RM) RF) 11-5 6
bM 0 1-0
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Comparación entrela L.M.C. y la L.M.V.
a. Recta del Mercado de Capitales
b. Recta del Mercado de Valores
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Riesgo Sistemático o Beta
Beta de un activo i, es la medida de volatilidad
de los retornos de este, en relación con los
retornos de la cartera. Por lo tanto
E(Ri) RF bi E(RM) RF
Donde bi cov (Ri ,RM) s2(RM)
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Riesgo sistemático o Beta
Luego el Retorno Esperado de cualquier activo,
es igual a la tasa de Cero Riesgo RF, más un
premio por el riesgo, que esta dado por el
diferencial entre retorno esperado de la cartera
menos la tasa de cero riesgo, multiplicado por el
Riesgo Sistemático o Beta
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Aplicación Empíricadel C.A.P.M.
(Rit RFt) ai bi (RMt RFt) eit
Donde Rit Retorno de la acción i, en el
período t. RFt tasa libre de riesgo, en el
período t. ai Intersección de la Línea
Característica con el eje vertical. bi
pendiente de la Línea Característica. eit
Error aleatorio, independiente del comportamiento
del mercado.
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Línea Característica
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Modelo de Precios de Activos de Capital
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Ajuste de b por Levarage Modelo de Hamada
Dados RF Tasa libre de riesgo. RM Retorno
promedio del mercado. Bu En ausencia de
Leverage. D/P Deuda / patrimonio. T Tasa
de Impuestos. R Tasa Pura Riesgo Negocio
Riesgo Financiero RF (RM RF) bu 1
(D/P) (1 T) O sea b bu 1 (D/P)
(1 T) Y bu b / 1 (D/P) (1 T)
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(No Transcript)