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Diseo y anlisis de experimentos

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Los cambios deben basarse sobre 'buenos' datos del sistema. ... covariables, o manteniendo su valor durante a lo largo de las distintas corridas. ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Diseo y anlisis de experimentos


1
Diseño y análisis de experimentos
  • CO-4311 Estadística para la Calidad,
    Productividad y Simulación.

2
El papel de la estadística en el aseguramiento de
calidad
  • Para mejorar es necesario hacer cambios.
  • Los cambios deben basarse sobre buenos datos
    del sistema.
  • Una vez obtenidos los datos, necesitamos
    convertirlos en información (en respuestas a
    preguntas).
  • La estadística es la ciencia que estudia ambos
    aspectos.

3
El papel de la estadística en el aseguramiento de
calidad
  • En muchos sistemas físicos es posible identificar
    unas variables de entrada (explicativas) que
    sirven de insumo a un proceso que a su vez
    produce una respuesta.

Variables explicativas
Proceso
Variables de respuesta
4
El papel de la estadística en el aseguramiento de
calidad
  • En este tipo de situaciones nos interesa entender
    como los cambios en las variables explicativas
    afectan a la respuesta. Los datos que
    necesitamos para ello son mediciones de la
    variable de respuesta correspondientes a
    diferentes valores de las variables explicativas.

5
Formas de obtención de los datos
  • La obtención de los datos sobre los cuales basar
    nuestras decisiones puede hacerse por observación
    (sin control sobre el valor de las variables
    independientes) o experimentalmente (controlando
    el valor de las variables independientes).
  • La primera alternativa involucra el uso de
    registros históricos, mientras que la segunda el
    de experimentos diseñados.

6
Experimentos diseñados
  • Un experimento diseñado es una prueba o serie de
    pruebas en las cuales se inducen cambios
    deliberados en algunas variables de entrada del
    sistema mientras otras se mantienen fijas, de
    manera de identificar las fuentes de los cambios
    en las variables de salida.

7
Definiciones básicas
  • Unidad experimental es el sujeto u objeto sobre
    el cual se toma una medición de la variable de
    respuesta.
  • Un punto del diseño es una combinación de valores
    de las variables explicativas para las cuales se
    toma una medición de la variable de respuesta.
    En otras palabras, estamos hablando de una
    condición experimental

8
Definiciones básicas (cont)
  • Los tratamientos son las variables explicativas
    cuyo efecto sobre la respuesta nos interesa
    estudiar.
  • Las variables explicativas cuya influencia sobre
    la respuesta no interesa al experimentador se
    denominan variables de ruido.
  • Cuando las variables explicativas son categóricas
    se les llama factores.

9
Definiciones básicas (cont)
  • Ejemplo 1 Se está interesado en estudiar la
    influencia de la presión y la temperatura de
    moldeo de un nuevo tipo de plástico sobre su
    dureza, para lo cual se decide tomar muestras de
    2 m2 (cada una de las cuales representa una
    unidad experimental) producidas a 200, 300 y 400
    psi de presión y 200 y 300 ºF de temperatura.

10
Definiciones básicas (cont)
  • En este caso la temperatura y la presión
    representan los tratamientos del experimento y
    los mismos son factores
  • El diseño comprende seis puntos (200psi,200ºF),
    (300psi,200ºF), (400psi,200ºF), (200psi,300ºF),
    (300psi,300ºF) y (400psi,300ºF).
  • No hemos identificado ninguna variable de ruido
    para este problema.

11
Ventajas de los experimentos diseñados
  • Elegir los puntos del diseño tiene múltiples
    ventajas
  • Se pueden controlar variables de ruido
  • Las variables de ruido que se conocen pueden
    incluirse en el estudio en forma de bloques y
    covariables, o manteniendo su valor durante a lo
    largo de las distintas corridas.
  • Para reducir la influencia de las variables de
    ruido cuya presencia se desconoce, la asignación
    de los tratamientos a las unidades experimentales
    se debe hacer en forma aleatoria.

12
Ventajas de los experimentos diseñados
  • Con datos históricos el rango de los tratamientos
    puede ser muy reducido, con lo que el ruido puede
    enmascarar los cambios en la respuesta.

13
Ventajas de los experimentos diseñados
  • Se puede reducir el tamaño muestral, simplificar
    el análisis y obtener mejor información
  • Se puede lograr que los estimadores del modelo
    tengan propiedades atractivas (como por ejemplo
    la ortogonalidad). Esto hace que se logren
    estimaciones más eficientes con menos datos.
  • Se pueden elegir que factores o interacciones han
    de despreciarse, en caso que esto sea necesario.
  • En los datos históricos es posible que el efecto
    de algunas variables sea indistinguible
    (confusión de efectos).

14
Etapas de un experimento
Identificación del problema Objetivo
(Hipótesis/Pregunta). Escoger variables de
respuesta. Identificar variables
explicativas. Vínculo entre VE y VR (modelo)
Diseño del experimento (dónde medir?)
Análisis de resultados (respuesta a la pregunta)
Recolección de la muestra (medición)
  • El diseño del experimento está influenciado por
    el modelo para analizar los datos.

15
Modelaje de sistemas
  • Una vez recabados los datos, nuestro interés se
    centra en identificar las causas de los cambios y
    contestar preguntas sobre el comportamiento del
    sistema.
  • La herramienta principal para lograr este fin son
    los modelos.

16
Modelaje de sistemas (cont)
  • Anteriormente estudiamos como utilizar modelos
    físicos en los cuales teníamos componentes
    estocásticos.
  • Sin embargo, en muchos casos no se dispone de
    modelos físicos, o tales modelos son tan
    complicados que no son útiles en la práctica. Se
    hace necesario entonces desarrollar modelos
    empíricos, los cuales funcionan como cajas
    negras.

17
Modelaje de sistemas (cont)
  • En los cursos básicos de estadística se
    estudiaron los modelos lineales (los cuales
    incluyen a los modelos de regresión y de análisis
    de varianza como casos particulares) y se
    diseñaron herramientas para estimarlos y probar
    hipótesis sobre ellos. Vamos ahora a utilizar
    este mismo tipo de modelos para analizar los
    datos provenientes de experimentos diseñados.

18
Diseños factoriales a dos niveles
  • Son diseños en los cuales las variables
    explicativas son factores (es decir, son
    categóricas o se han categorizado).
  • Para cada factor se consideran solo dos niveles,
    genéricamente alto () y bajo (-).
  • Todas las variables explicativas involucradas son
    tratamientos
  • El número de puntos diferentes para un diseño con
    k factores es n 2k.

19
Modelos asociados
  • Por ser un conjunto de datos con tratamientos
    categóricas, el modelo lógico a utilizar es un
    modelo de análisis de varianza con k vias que
    incluya todas las interacciones entre factores.
  • También puede utilizarse un modelo de regresión
    lineal con variables codificadas, el cual resulta
    equivalente al modelo ANOVA.

20
Definición de efecto
  • En el ámbito de los diseños 2k se denomina efecto
    de una variable (o de una interacción) a la
    diferencia entre la respuesta esperada que se
    obtiene en el nivel alto de la variable y la
    respuesta esperada que se obtiene en el nivel
    bajo de la misma.

21
Diseños 22
  • Llamaremos A y B a las variables explicativas,
    así como a sus efectos.
  • La interacción entre ambos factores y el efecto
    correspondiente la denotaremos AB.
  • Las condiciones experimentales pueden ubicarse en
    un cuadro.

22
Nomenclatura de diseños 22
  • Para denotar los puntos experimentales se utiliza
    una palabra compuesta por las letras minúsculas
    correspondientes a los factores que deban
    colocarse a nivel alto. El punto que corresponde
    a todas las variables en nivel bajo se denota (1).

23
Nomenclatura de diseños 22 (cont)
  • Así, los puntos en orden estándar son
  • En algunos casos se usa la misma nomenclatura
    para el valor de la variable de respuesta
    obtenida en ese punto, pero esto puede inducir a
    errores.

24
Estimación en diseños 22
  • La forma más sencilla de estimar los efectos en
    este diseño es usar un modelo de regresión con la
    estructura
  • donde

25
Estimación en diseños 22 (cont)
  • Así se obtienen como estimadores
  • donde el punto indica la suma sobre todas las
    réplicas obtenidas en el mismo punto.

26
Estimación en diseños 22 (cont)
  • Este modelo de regresión es equivalente a ajustar
    un modelo de análisis de varianza de 2 vías
  • donde se utilizan las restricciones
  • cumpliéndose así las relaciones

27
Estimación en diseños 22 (cont)
  • Recordemos que en este modelo m representa la
    media general de todas las observaciones y los
    demás coeficientes la diferencia respecto de esta
    media general que se produce en la respuesta para
    cada nivel de la variable correspondiente. Así

28
Estimación en diseños 22 (cont)
  • El estimador del efecto de A que obtuvimos
    anteriormente puede escribirse
  • Es decir, el promedio de todas las observaciones
    a nivel alto de A menos el promedio de todas las
    observaciones a nivel bajo de A. Esto está en
    línea con nuestra definición de efecto.

29
Estimación en diseños 22 (cont)
  • El mismo efecto también puede escribirse
  • El primer paréntesis representa el cambio de
    respuesta que produce la variable A cuando B está
    en nivel bajo y la segunda el mismo cambio cuando
    B esta en alto.

30
Diseños 2k
  • El espacio de condiciones experimentales puede
    representarse mediante un cubo (para k 3) o
    pares de cubos (para k gt 3).

k 3
k 4
D
C
C
C
B
B
B
A
A
A
31
Nomenclatura de diseños 2k
  • La forma de denotar los puntos es la misma que el
    diseño 22. En cuanto al orden estándar de un
    diseño 2k, este puede hallarse duplicando el
    orden estándar de un 2k-1, uno para el nivel bajo
    de la nueva variable seguido del otro para el
    nivel alto de la nueva variable.

32
Nomenclatura de diseños 2k
  • Por ejemplo, para k 3 y k 4.

33
Estimación en diseños 2k
  • Un modelo de regresión con k variables de la
    forma
  • puede utilizarse para estimación en este problema.

34
Algoritmo de los signos
  • Podemos usar la ortogonalidad del diseño para
    simplificar la fórmula de los estimadores mínimo
    cuadráticos. De hecho es fácil probar que estos
    se pueden escribir como un múltiplo del producto
    escalar de dos vectores

35
Algoritmo de los signos (cont)
  • Por ejemplo, en un diseño 23, el estimador del
    efecto de la interacción ABC viene dado por
  • La columna ABC se obtiene multiplicando las
    columnas de A, B y C.

36
Análisis de diseños 2k
  • Si se toma más de una réplica entonces se utiliza
    una tabla de análisis de varianza de k vías para
    determinar cuales efectos son significativos. La
    suma de cuadrados de cada variable tiene 1 grado
    de libertad y puede obtenerse a partir del efecto
    mediante la fórmula

37
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Ejemplo 2 se desea estudiar el efecto de la
    rapidez de corte (A), la configuración (B) y el
    ángulo de corte (C) sobre la duración de una
    herramienta. Se eligen dos niveles para cada
    factor y se realizan tres réplicas en cada
    condición experimental. Los resultados se
    muestran en la tabla anexa.

38
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Se desea estimar los efectos de cada factor,
    determinar cuales son significativos sobre la
    respuesta y recomendar condiciones de operación.

39
Análisis de diseños 2k (cont)
  • El estimador y la suma de cuadrados para cada
    efecto pueden calcularse con el algoritmo de
    signos. El SST 2095,334 y SSE 482,667 se
    obtienen como en el análisis de varianza
    tradicional.

40
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Con a 0.05 tenemos Fref (1,16) 4,49 y la
    tabla muestra que son significativos la
    interacción AC (y por tanto A y C) y el efecto
    principal B.

41
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Es claro que el factor B debe estar en nivel
    alto. Para determinar que hacer con A y C,
    nótese que de los tres efectos (A, C y AC) el que
    tiene el menor valor absoluto es A. Eso quiere
    decir que debemos colocar C y AC en condiciones
    óptimas y sacrificar (si es necesario) la
    contribución de A. Esto se logra colocando C en
    alto y A en bajo (vea los signos de los efectos).

42
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Finalmente, es necesario estudiar los residuos
    del modelo para verificar las hipótesis de
    normalidad.

43
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Los residuos parecen ser homocedasticos, aunque
    tienen una cola izquierda un poco menos pesada
    que la normal, lo que indica una distribución
    asimétrica. Es necesario tener cuidado con las
    conclusiones anteriores mientras no se haga un
    estudio más detallado sobre los residuos.

44
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Si se dispone de solo una réplica del experimento
    entonces la suma de cuadrados del error es nula y
    no es posible utilizar una tabla de análisis de
    varianza para determinar cuales efectos son
    significativos.

45
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Si se supone que no hay ningún efecto
    significativo y que los errores cometidos en cada
    medición siguen una distribución normal con media
    0 y varianza s2, entonces para todos los efectos

46
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Esto sugiere dos posibilidades para realizar el
    análisis
  • Utilizar un gráfico cuantil cuantil de efectos
    contra la districión normal y considerar
    significativos los que no esten sobre la línea.
  • Utilizar un estimador de s2 (o bien externo, o
    bien obtenido a partir de los datos en forma
    robusta) para calcular intervalos de confianza.
  • Ambas técnicas suponen pocos efectos
    significativos.

47
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Ejemplo 3 En un estudio sobre el rendimiento de
    un proceso se consideran cuatro factores cada uno
    a dos niveles tiempo (A), concentración (B),
    presión (C) y temperatura (D). Los niveles
    utilizados son

48
Análisis de diseños 22 (cont)
  • Los resultados se pueden observar en la siguiente
    tabla. Como solo se dispone de una réplica del
    experimento es posible estimar los efectos pero
    no se puede calcular una tabla de análisis de
    varianza.

49
Análisis de diseños 22 (cont)
  • Usando el algoritmo de los signos se obtienen los
    efectos estimados para cada factor. Una
    inspección preliminar indica que la temperatura y
    algunas de sus interacciones son los factores más
    importantes.

50
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Del gráfico de efectos se observa que los efectos
    más importantes son efectivamente A, C, D, AC y
    AD.

51
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Los gráficos de residuos para el modelo que
    contiene solo los efectos significativos

52
Análisis de diseños 2k (cont)
  • En este caso, también se puede construir el
    gráfico de residuos contra el tiempo

53
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Otra forma de analizar estos datos es obtener una
    estimación de la varianza de los efectos usando
    un estimador robusto como el MEDA (en inglés se
    le llama MAD), el cual viene definido por
  • Este es un estimador insesgado de s para la
    distribución normal

54
Análisis de diseños 2k (cont)
  • En nuestro ejemplo los yi corresponden a los
    efectos (cuya varianza queremos estimar). Por
    tanto
  • y luego de restar este valor a cada efecto, tomar
    el valor absoluto y calcular la mediana de estos
    nuevos valores tenemos

55
Análisis de diseños 2k (cont)
  • Así, el intervalo (-2,2239 2,2239) es una
    región de rechazo a un nivel de confianza
    aproximado de 95. Con esto vemos que son
    significativos los efectos de A, D, AC y AD. El
    efecto C, aunque es grande, no excede el
    intervalo de confianza, pero lo vamos a
    considerar significativo porque la interacción AC
    lo es (principio de jerarquía).

56
Construcción de un gráfico cuantil - cuantil
  • Cada par ordenado a graficar corresponde al
    cuantil de cada distribución calculado al mismo
    nivel de probabilidad. Estos pares deben caer
    sobre una línea recta si ambas distribuciones son
    iguales.
  • Las probabilidades suelen escogerse de tal manera
    que los cuantiles empíricos correspondan con las
    observaciones (esto con el fin de minimizar los
    cálculos).

57
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal
  • Ordenar los datos (x1, x2, xn) de menor a
    mayor. Llamaremos el rango i de una observación
    a su posición en la muestra ordenada (el dato más
    pequeño tiene rango i 1, etc).
  • Asignar a cada dato una probabilidad acumulada de
    i/(n 1).
  • Calcular los cuantiles de una normal estándar
    para cada probabilidad i/(n 1).

58
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal
  • Ejemplo 4 Considere la muestra formada por 2,3
    3,5 2,8 4,7 2,1 1,3 4,5 8,0
  • Los cálculos se pueden resumir en la tabla

59
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal
  • Y el gráfico cuantil cuantil normal
    correspondiente es

60
Construcción de un gráfico cuantil cuantil
normal
  • Se puede observar que la distribución empírica es
    asimétrica y que de hecho la cola derecha es más
    pesada que la de una normal.
  • También es posible observar que la mediana de las
    observaciones está alrededor de 3,5.

61
Proyección de diseños 2k
  • Gracias a su ortogonalidad, un diseño 2k en el
    cuál n factores (n lt k) son no significativos
    corresponde a 2n réplicas de un diseño en el cuál
    participan solo k - n factores.

bc
abc
c
C no significativo
ac
ab
b
b
abc
bc
C
ab
B
B
(1)
a
A
c
ac
A
a
(1)
62
Proyección de diseños 2k (cont)
  • Ejemplo 3 (continuación ) usando el gráfico
    cuantil cuantil vimos que la concentración (B)
    parece no tener efecto sobre el rendimiento.
    Podríamos pensar entonces que nuestros resultados
    provienen de un diseño 23 con dos réplicas en los
    factores A, C y D, tal y como se muestra en la
    siguiente tabla.

63
Proyección de diseños 2k (cont)
64
Proyección de diseños 2k (cont)
  • Podemos ahora construir una tabla de análisis de
    varianza para estos 3 factores.

65
Proyección de diseños 2k (cont)
  • Esta tabla confirma los resultados obtenidos
    mediante el gráfico cuantil cuantil tanto la
    interacción ACD como la interacción CD son no
    significativas, pero el resto de los coeficientes
    del modelo si lo son.

66
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)
  • Los diseños 2k son preferibles a los experimentos
    donde se inducen cambios en un factor a la vez
  • En estos últimos no es posible estudiar la
    interacción.
  • Estos últimos tienen una eficiencia menor, ya que
    se requieren más observaciones para lograr la
    misma precisión en la estimación.

67
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)
  • Por ejemplo, se desea estudiar la influencia de
    la presión y la temperatura sobre la viscosidad
    de un producto. Bajo el esquema un factor a la
    vez, estudiaríamos primero la temperatura

68
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)
  • Ahora, estudiaríamos la presión partiendo del
    mejor punto encontrado en el experimento
    anterior. Así, la condición óptima sería (250,
    590) y cada estimación del efecto estaría basada
    en dos observaciones.

69
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)
  • Si usamos un diseño 2k podríamos advertir que la
    interacción es importante y por tanto el óptimo
    estaría en (220,590) y cada estimación del efecto
    sería calculada usando cuatro observaciones.

70
Ventajas y desventajas de los diseños 2k
  • La principal ventaja es que son experimentos
    pequeños y baratos, ya que tienen la menor
    cantidad de puntos necesarios para estimar
    interacciones entre variables.
  • La desventaja es que no proveen suficiente
    información para estudiar en profundidad la
    curvatura de la superficie.

71
Ventajas y desventajas de los diseños 2k (cont)
  • Los experimentos factoriales a dos niveles se
    encuentran ampliamente difundidos y suelen usarse
    en las primeras etapas de la experimentación para
    reducir el número de variables explicativas a
    considerar.
  • Sin embargo, los resultados que se obtienen con
    ellos suelen complementarse posteriormente.

72
Diseños 2k fraccionados
  • A pesar de que un diseño 2k con una réplica es el
    diseño con la menor cantidad de puntos necesarios
    para estimar interacciones, en algunos casos este
    diseño puede ser demasiado grande.
  • Suponga por ejemplo un problema en el cual se
    tienen 7 variables explicativas, y cada punto
    requiere un día de trabajo perdido. Esto
    significa 128 días!!

73
Diseños 2k fraccionados (cont)
  • Una alternativa razonable es experimentar solo en
    algunos puntos del diseño.
  • El precio a pagar será la necesidad de despreciar
    el efecto de algunas de las interacciones, ya que
    no podrán ser estimadas sino conjuntamente con
    otras.
  • Trataremos de mantener la ortogonalidad del
    diseño, por lo que la fracción será una potencia
    negativa de 2.

74
Diseños 2k fraccionados (cont)
  • Como ejemplo, partamos de un diseño 23, y
    supongamos que solo es posible realizar cuatro
    mediciones. Esto es un diseño 23-1.
  • Cuáles puntos escogería?

75
Diseños 2k fraccionados (cont)
  • Supongamos que escogemos (1), a, b, c.
  • El diseño que se obtiene no es ortogonal.
    Verifíquelo!

76
Diseños 2k fraccionados (cont)
  • Supongamos que escogemos a, b, ac, bc.
  • La columna de A es igual a la columna de B
    multiplicada por -1 (B -A). Los efectos de
    ambos factores son inseparables. Pero son
    efectos principales!

77
Diseños 2k fraccionados (cont)
  • Supongamos que escogemos a, b, c, abc.
  • Aquí A BC, B AC y C AB. De nuevo existen
    efectos confundidos, pero al menos los efectos
    principales están separados.

78
Confusión de efectos
  • Los efectos de dos variables están confundidos
    cuando es imposible saber cual de ellas produce
    los cambios en la respuesta.
  • Este es el caso cuando los cambios de nivel en
    ambas variables se producen al mismo tiempo y en
    magnitudes proporcionales.

79
Confusión de efectos (cont)
  • Desde el punto de vista de la teoría de los
    modelos lineales, este es un problema de
    multicolinealidad (algunas columnas de la matriz
    de diseño son combinaciones lineales exactas de
    otras columnas).
  • Cualquier estimación de efectos será entonces una
    suma (algebraica) de los efectos de ambas
    variables.

80
Confusión de efectos (cont)
  • Siempre que se realice fraccionamiento de diseños
    2k se producirá confusión entre efectos. Este es
    el precio a pagar para poder reducir el número de
    experimentos a realizar.
  • Tenemos ahora que determinar cual factor es el
    influyente dentro de la estructura de confusión.

81
Confusión de efectos (cont)
  • Una heurística razonable se basa en el principio
    de dispersión de efectos cuando existen varias
    variables, es probable que el sistema o proceso
    sea influido principalmente por algunos de los
    efectos principales e interacciones de orden
    inferior. En otras palabras, si ha de
    despreciarse algo, deben ser las interacciones de
    orden más alto.

82
Confusión de efectos (cont)
  • En consecuencia, las siguientes reglas se
    utilizan para interpretar las confusiones
  • El efecto principal o la interacción de menor
    orden en una confusión es la que se considera
    significativa.
  • Si hay dos interacciones del mismo orden que
    puedan ser significativas, se preferirá aquella
    que dependa de efectos que aparecen ser
    influyentes en otros coeficientes.

83
Confusión de efectos (cont)
  • En general, para un diseño 2k-p
  • se estiman 2k-p 1 coeficientes, cada uno de los
    cuales representa la confusión de 2p efectos e
    interacciones. Cada uno estos coeficientes
    deberán interpretarse usando la heurística
    anterior.
  • Los 2p efectos restantes se mantienen a nivel
    fijo y por lo tanto no se pueden estimar. Son
    los que aparecen en la relación de definición, y
    están confundidos con la media general.

84
Relación de definición
  • Retomemos el diseño 23-1
  • La columna ABC contiene únicamente 1. Esto
    puede escribirse
  • Esta expresión se llama relación de definición o
    ecuación generadora.

85
Relación de definición (cont)
  • Esta relación indica el conjunto de todas las
    columnas iguales a la identidad.
  • Esta relación resume toda la estructura de
    confusiones. Para mostrarlo, definamos la
    siguiente álgebra para cualquier par de factores
    F1 y F2
  • F1I F1
  • F1F1 I
  • F1 F2 F2 F1

86
Relación de definición (cont)
  • Por ejemplo, para el diseño 23-1 con relación de
    definición ABC I tenemos BC A , B AC y AB
    C , que coincide con los resultados que
    habíamos obtenido a partir de la inspección de la
    tabla.
  • Nótese que la otra mitad del diseño, conformada
    en este caso las puntos (1), ab, ac y bc, tiene
    por relación de definición -ABC I.

87
Relación de definición (cont)
  • Un diseño 2k-p tiene siempre una relación de
    definición conformada por 2p palabras (incluyendo
    la identidad), de las cual p son independientes.
    Esto quiere decir que las 2p p palabras
    restantes se pueden formar multiplicando entre si
    las p palabras independientes.
  • Nota alguna relación con el número de efectos
    confundidos en cada coeficiente?

88
Relación de definición (cont)
  • Una familia de diseños fraccionados comprende
    todos los diseños que tienen las mismas palabras
    en la ecuación de definición (excepto por los
    signos).
  • La fracción principal de la familia es la que
    tiene todas las palabras independientes con
    signos positivos.
  • Las demás fracciones son denominadas fracciones
    complementarias.

89
Resolución
  • La resolución de un diseño fraccionado viene dada
    por el orden de la interacción más baja
    confundida con algún efecto principal más uno.
  • Una forma sencilla de calcularla es buscar la
    longitud de la palabra más corta en la relación
    de definición.

90
Resolución (cont)
  • La resolución suele denotarse usando números
    romanos colocados como un subíndice del tipo de
    diseño. Así, un diseño con 6 factores que se
    investiga usando 16 corridas y que tenga
    resolución III se denota
  • Se tiende a preferir diseños con resolución alta
    (recuerde la heurística).

91
Resolución (cont)
  • La mínima resolución que se acepta en un diseño
    es III
  • En un diseño 2k-p de resolución I al menos un
    factor se encuentra a nivel fijo. Este diseño es
    realmente un 2(k-s)-(p-s) donde el número de
    efectos principales solos en la ecuación de
    definición s han sido eliminados del diseño.
  • En un diseño de resolución II dos efectos
    principales cambian al mismo tiempo, así que no
    es posible estudiarlos por separado.

92
Ejemplos
  • Ejemplo 5 Suponga que se desea un diseño 25-2.
    Para definirlo es necesario escoger dos (p 2)
    palabras de la ecuación de definición, por
    ejemplo, ABC y CDE. Las otras dos (22 2)
    palabras son I y ABCCDE ABDE. Por tanto
  • y es fácil ver que su resolución es III.

93
Ejemplos (cont)
  • La estructura completa de confusiones es
  • donde se confirma la resolución III.

94
Ejemplos (cont)
  • La estructura de confusiones se puede escribir en
    forma de contrastes, los cuales indican cuales
    efectos se encuentran confundidos en cada uno de
    los coeficientes estimados por el algoritmo de
    los signos.

95
Ejemplos (cont)
  • El número de puntos en este diseño es 8.
  • Para encontrar los puntos correspondientes
    existen varios procedimientos. El más intuitivo
    (pero también el más largo) consiste tomar la
    matriz de diseño de un diseño 2k completo (en
    este caso un 25) y escoger las filas donde los
    efectos que aparecen en la relación de definición
    tengan el signo adecuado.

96
Ejemplos (cont)
97
Ejemplos (cont)
  • Otro procedimiento más corto es posible si usamos
    la información contenida en la estructura
    completa de confusiones
  • Escoja la interacción de orden más bajo
    confundida con un efecto principal (si hay más de
    una con el mismo orden escoja una cualquiera de
    ellas). En este caso podríamos escoger la
    interacción BC, confundida con el factor A.

98
Ejemplos (cont)
  • Genere las columnas correspondientes a los
    factores involucrados en esta interacción usando
    el orden estándar. En este caso generaríamos las
    columnas B y C de la siguiente forma

99
Ejemplos (cont)
  • Genere la columna correspondiente al nuevo factor
    multiplicando las columnas de la interacción
    asociada que identificó anteriormente. En este
    caso la columna de A se genera multiplicado las
    de B y C.

100
Ejemplos (cont)
  • Repita el procedimiento hasta que haya completado
    todas las columnas de efectos principales. En
    nuestro ejemplo escogeríamos ahora la interacción
    CE, asociada con el efecto E.

101
Ejemplos (cont)
  • Los puntos ahora se leen ahora de los signos de
    cada fila. Note que el resultado es el mismo que
    obtuvimos antes salvo por el orden, que es
    irrelevante.

102
Ejemplos (cont)
  • En general, siempre se pueden elegir k- p
    columnas usando el orden estándar y generar las
    demás columnas correspondientes a los efectos
    principales asociándolas con interacciones
    adecuadas. El problema es que no pueden ser
    cualquier columnas en el ejemplo anterior no
    pueden elegirse A, B y C independientemente, ya
    que la estructura de confusiones requiere que C
    este confundida con AB.

103
Análisis de diseños 2k fraccionados
  • Como en estos diseños es imposible estimar el
    error experimental a partir de los datos, las
    herramientas que se utilizan para analizarlos son
    las mismas que se utilizan para analizar diseños
    2k completos en los cuales se dispone de una sola
    réplica.
  • Sin embargo es necesario recordar la heurística
    para interpretar los efectos.

104
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)
  • Ejemplo 6 Se desea estudiar la influencia que
    tiene la concentración de cinco compuestos (A, B,
    C, D y E) en un nuevo detergente sobre el tiempo
    de disolución de la grasa. Para ello se utiliza
    el diseño 25-2 con ecuación generatriz ABC CDE
    ABDE I presentado en el ejemplo anterior.

105
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)
  • Aplicando el algoritmo de los signos a estos
    datos (recuerde que el denominador para el
    cálculo de los efectos es la mitad del número de
    observaciones, en este caso 4) se obtienen los
    siguientes estimadores

106
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)
  • Por simple inspección es claro que los efectos
    más importantes son el segundo (atribuible a B),
    el quinto (atribuible a E) y el sexto (que muy
    probablemente se debe a la interacción BE, dados
    los resultados anteriores). Para confirmar estos
    resultados realicemos un gráfico cuantil -
    cuantil de los efectos contra la normal.

107
Análisis de diseños 2k fraccionados (cont)
  • Tenga cuidado interpretando este gráfico, cuáles
    puntos definen la línea?

108
Diseño de fracciones
  • En la práctica es el investigador el que debe
    decidir cual relación generadora utilizar en cada
    caso. A continuación estudiaremos algunos
    criterios para la escogencia de la familia de
    fracciones.
  • Si no existen restricciones sobre los puntos, se
    suele usar la fracción principal de la familia.

109
Diseño de medias fracciones
  • Para diseños 2k-1 lo común es fijar el nivel de
    la interacción de nivel más alto, ya que esto
    conduce al diseño con la máxima resolución
    posible (que es en este caso igual al número de
    factores). Así por ejemplo, para un estudiar 7
    factores con 64 observaciones se suele utilizar
    la relación generadora ABCDEFG I, que da un
    diseño con resolución VII.

110
Diseño de fracciones generales
  • Iterar el procedimiento para medias fracciones no
    necesariamente conduce a resultados óptimos. Es
    decir, escoger la mejor media fracción de la
    mejor media fracción no produce el mejor cuarto.
  • Considere un diseño 25-2 donde se fija el nivel
    de la interacción de quinto orden y de una
    interacción cualquiera de cuarto orden (por
    ejemplo ABCD).

111
Diseño de fracciones generales (cont)
  • La relación de definición que se obtiene entonces
    es
  • es decir, un diseño con resolución I. Esto nos
    lleva a afirmar que los procedimientos de diseño
    que se basan en escoger filas del diseño completo
    son poco confiables para producir diseños con
    resolución alta.

112
Diseño de fracciones generales (cont)
  • Un procedimiento más confiable consiste en partir
    de un diseño completo para k - p factores y
    asignar los factores adicionales a los grados de
    libertad que corresponden a las interacciones
    (usualmente se comienza con las de segundo
    orden).
  • De esta manera se producen diseños con resolución
    al menos igual a III.

113
Diseño de fracciones generales (cont)
  • Ejemplo 7 escojamos la relación de definición
    para un diseño 27-3. Para ello partimos de un
    diseño 24 (que ya tiene los niveles para las
    variables A, B, C y D) y asignemos los tres
    factores faltantes (E, F y G) a tres
    interacciones del diseño original (por ejemplo,
    podríamos utilizar AB, BC y CD).

114
Diseño de fracciones generales (cont)
115
Diseño de fracciones generales (cont)
  • Los puntos se reasignan ahora a partir de los
    signos de las filas. Nótese que los nuevos
    puntos siempre contienen al menos las mismas
    letras que contenían originalmente. En otras
    palabras, solo hay que agregar a las etiquetas de
    los puntos originales los valores asociados con
    las tres columnas nuevas.

116
Diseño de fracciones generales (cont)
117
Diseño de fracciones generales (cont)
  • Las palabras independientes de la relación de
    definición son ABE BCF CDF I, con lo cual
    la relación de definición completa es
  • Es claro que el diseño tiene resolución III.

118
Diseño de fracciones generales (cont)
  • Este método no garantiza resolución máxima.
    Algunos diseños que si la tienen

119
Diseños saturados
  • El máximo número de efectos principales que
    pueden estudiarse con un diseño factorial
    fraccionado que tenga p puntos, de tal manera de
    tener resolución mayor o igual a III, es p - 1.
    En este caso, todos los grados de libertad
    disponibles son usados por efectos principales y
    por tanto se denominan diseños saturados.

120
Proyección en diseños 2k fraccionados
  • Cualquier diseño factorial fraccionario de
    resolución R contiene diseños factoriales
    completos (o incluso réplicas de diseños
    factoriales) en cualquier subconjunto de R - 1
    factores. Considere por ejemplo un diseño 23-1
    con resolución III definido por la relación ABC
    I.

121
Proyección en diseños 2k fraccionados (cont)
122
Proyección en diseños 2k fraccionados (cont)
  • Si el diseño es de resolución R, es posible
    obtener de todas formas diseños en subconjuntos
    con más de R - 1 factores, pero no en cualquier
    subconjunto, sino grupos cuya interacción no esté
    en la relación de definición.

123
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Una propiedad muy útil de los diseños 2k-p es que
    dos fracciones pertenecientes a la misma familia
    pueden combinarse para generar un diseño
    2k-(p-1).
  • Para ver esto consideremos las dos fracciones de
    un diseño 23-1 con relación de definición I
    ABC.

124
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Los contrastes para la fracción principal
  • Y para la fracción complementaria

125
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Entonces, aunque los efectos A y BC están
    confundidos tanto en A como en A, la forma en
    la que lo están cambia mientras que A
    representa la suma de los efectos, A representa
    su diferencia.
  • Esto significa que si A y BC tienen el mismo
    signo entonces A es muy grande y A es pequeño,
    mientras que si A y BC tienen signos opuestos
    sucede lo contrario.

126
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Si usamos a los contrastes como ecuaciones y
    sumamos (o restamos) los pares equivalentes en
    ambos diseños tenemos

127
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Podemos predecir la estructura de confusiones del
    experimento conjunto. Esto se puede utilizar
    para desarrollar una metodología secuencial que
    escoja la mejor próxima fracción para separar
    efectos que estén confundidos.
  • Podemos calcular los efectos separados sin
    necesidad de utilizar el algoritmo de los signos
    desde el principio.

128
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Ejemplo 8 se desea estudiar el tiempo que tarda
    el ojo humano en enfocarse, para lo cual se ha
    diseñado un aparato en el que se pueden controlar
    varios factores, tales como la agudeza visual
    (A), distancia del objeto al ojo (B), forma del
    objeto (C), nivel de iluminación (D), tamaño del
    objeto (E), densidad del objeto (F) y sujeto (G).

129
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • El investigador supone que solo unos pocos de
    estos factores influyen sobre la respuesta, por
    lo que decide usar un diseño saturado 27-4III
    donde las palabras independientes de la relación
    de definición son

130
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Los resultados obtenidos en cada punto del
    experimento pueden verse en la tabla anexa. Las
    corridas fueron realizadas en orden aleatorio,
    pero el mismo no se incluye.

131
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • El valor de los efectos está en la tabla
    adyacente. Para simplificar la notación no se
    han incluido las interacciones de orden tres o
    superiores (las cuales vamos a considerar no
    significativas).

132
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • La interpretación más sencilla de estos
    resultados es que los factores A, B y D son
    significativos. Sin embargo, y debido a la
    estructura de confusiones, también podrían ser
    significativos A, B y AB, o quizás A, D y AD o B,
    D y BD.
  • Esto se debe a que el diseño es de resolución III
    y a que ABD aparece en la relación de definición.

133
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Si se hubiese asignado el nivel de iluminación al
    factor C en lugar del D, esta ambigüedad no
    hubiese aparecido (ya que el diseño se proyecta
    en un diseño 23 completo sobre ABC al no aparecer
    ABC en la relación de definición). Verifíquelo!
  • Sin embargo, no se puede culpar al investigador
    ya que esto era muy difícil de prever.

134
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Es necesario correr un nuevo experimento. Sin
    embargo, desechar estos datos y utilizar el mismo
    diseño con los factores intercambiados como se
    sugirió antes es un desperdicio.
  • Una opción preferible es escoger una fracción
    complementaria de la misma familia, de tal manera
    de separar los efectos principales de las
    interacciones.

135
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Para lograr esto se puede utilizar la fracción en
    la cual los signos de las columnas de todos los
    efectos principales invierten sus signos. Esto
    corresponde a la relación de definición
    (verifíquelo)
  • Los puntos con su respectivo tiempo y los
    contrastes con sus estimaciones se pueden ver a
    continuación.

136
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
137
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Usando las mismas ideas sobre sumas y diferencias
    de contrastes tenemos

138
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Al combinar los resultados de los experimentos es
    posible afirmar con mayor certeza que los
    factores significativos son la distancia del
    objeto al ojo (B) y el nivel de iluminación (D).
  • Conseguimos mejores estimaciones de los efectos
    principales, ya que cada una se basa en 16 datos,
    además de tener un diseño de resolución IV.

139
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • En resumen, podemos afirmar que
  • Si se cambia el signo de únicamente de asociada
    con un efecto principal, con el diseño combinado
    se obtienen estimaciones de dicho factor y todas
    las interacciones de segundo orden que los
    contengan aisladas de otros efectos principales o
    interacciones de segundo orden. Sin embargo, no
    se garantiza que la resolución del diseño aumente
    (ni siquiera garantiza resolución IV).

140
Estrategias secuenciales con diseños 2k
fraccionados
  • Si se cambia el signo de todas las columnas
    correspondientes a los efectos principales en un
    diseño de resolución III, el diseño combinado
    tendrá resolución al menos IV, y por tanto, los
    efectos principales se encontraran aislados de
    las interacciones de segundo orden (es decir, los
    efectos principales no estará confundidos con
    interacciones de segundo orden, pero estas
    seguramente si lo estarán entre si). Esto se
    suele denominar plegamiento (folding).

141
Diseños 2k en bloques
  • En muchas situaciones no es posible o práctico
    realizar todas las corridas de un experimento
    bajo condiciones uniformes (por razones de
    tiempo, capacidad, etc).
  • En esos casos es necesario tomar en cuenta la
    fuente de esa variabilidad (variables de ruido) a
    través de bloques.

142
Diseños 2k en bloques (cont)
  • Si es posible, se debe correr exactamente una
    replica del diseño completo en cada bloque. En
    este caso no existe ninguna restricción al número
    de bloques que se utilicen y no es necesario
    realizar ninguna consideración de diseño
    adicional. El análisis se realiza utilizando el
    modelo de analisis de varianza general.

143
Diseños 2k en bloques (cont)
  • Si los bloques no son lo suficientemente grandes
    como para contener una réplica completa del
    diseño hay que utilizar un número de bloques que
    sea potencia de 2 (digamos 2s) y correr en cada
    uno de ellos la misma cantidad de observaciones
    (para mantener la ortogonalidad del diseño). En
    ese caso la estimación de los bloques se
    confundira con algunas interacciones.

144
Diseños 2k en bloques (cont)
  • Para distribuir un diseño 2k en 2s bloques lo
    ideal es escoger una familia de diseños 2k-s con
    la máxima resolución posible y asignar cada una
    de las fracciones de la familia a uno de los
    bloques. Ya que los efectos que aparecen en la
    relación de definición son los que se confunden
    con el efecto de los bloques, el diseño que se
    obtiene es óptimo.

145
Otras herramientas y diseños de primer orden
  • Diseños con confusiones parciales. Se sacrifica
    la ortogonalidad del diseño para poder estimar
    interacciones y/o efectos que de otro modo son
    inseparables. Son útiles en ciertas situaciones,
    pero la interpretación de la estructura de
    confusiones se vuelve muy complicada y por tanto
    deben utilizarse con mucho cuidado.

146
Otras herramientas y diseños de primer orden
  • Diseños de Plackett-Burman. Permiten estudiar
    problemas con K N 1 variables usando N datos,
    donde N es multiplo de 4. Cuando N es potencia
    de 2 los diseños coinciden con los diseños 2k,
    pero en los demás casos la estructura de
    confusiones puede ser muy compleja, no son
    ortogonales y las propiedades de proyección no
    son atractivas.

147
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta
  • Cuando las variables explicativas de un proceso
    son continuas, los diseños que hemos estudiado
    hasta ahora no son suficientes para estudiar
    completamente la curvatura del sistema.
  • Esto hace difícil la determinación de condiciones
    óptimas de operación y limita la comprensión del
    sistema.

148
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta
  • La metodología de superficies de respuesta es una
    combinación de técnicas de diseño y análisis de
    experimentos que, utilizadas en forma secuencial,
    permiten determinar condiciones de operación que
    son óptimos locales para el sistema.
  • Usualmente se aplica en una segunda etapa de la
    investigación, cuando ya se ha reducido el número
    de variables.

149
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta
  • Las ideas fundamentales sobre las cuales se
    desarrolla la metodología son
  • La mayor parte de las funciones que ocurren en la
    industria son funciones continuas y suaves, o en
    todo caso, sus discontinuidades son pocas y
    conocidas (cambios de estado).
  • Una función compleja suave puede aproximarse
    localmente (es decir, en zonas pequeñas de la
    región de operación) mediante polinomios de orden
    bajo.

150
Introducción a la metodología de superficie de
respuesta
  • Si la zona donde se realiza la aproximación local
    está lejos de la zona donde se encuentra un
    máximo local entonces un polinomio de primer
    orden deberá ser una buena aproximación. En
    cambio, si la zona está cerca del máximo local
    será necesario utilizar un polinomio de segundo
    orden para describir a la función.
  • Estos últimos puntos pueden justificarse a través
    del teorema de Taylor.

151
Limitaciones de los diseños de primer orden (cont)
  • Aproximaciones locales de una función

152
Codificación de variables
  • La codificación de variables en niveles alto y
    bajo puede extenderse en el caso de variables
    continuas para incluir otros valores. Llamemos x
    a la variable original, x- al valor que habíamos
    denominado bajo, x al valor que habíamos
    considerado alto y x a la variable codificada.
    Entonces

153
Codificación de variables (cont)
  • Note que si evalúa la relación anterior en x
    x o en x x- obtiene, respectivamente, x 1 o
    x -1. Para cualquier otro valor, la relación
    anterior interpola el valor de la variable en el
    sistema codificado.
  • La principal ventaja de este cambio de unidades
    es que simplifica la notación y permite un
    desarrollo unificado de la teoría como una
    extensión de los diseños 2k.

154
Modelos a utilizar
  • Digamos que queremos establecer un modelo con k
    variables explicativas x1, x2, , xk y
    variable de respuesta y. Un modelo de primer
    orden tiene la forma
  • mientras que un modelo de segundo orden

155
Modelos a utilizar (cont)
  • En ambos casos supondremos que los errores
    correspondientes a cada dato ei siguen una
    distribución normal con media 0 y varianza s2,
    por lo que las técnicas de modelos lineales serán
    aplicables.
  • Nótese además que el modelo de primer orden está
    anidado en el de segundo orden.

156
Diseños para ajustar modelos de primer orden
  • Lo común es comenzar la investigación usando un
    diseño 2k para ajustar un modelo de primer orden
    y verificar la presencia de interacciones o
    términos cuadráticos puros.
  • Ahora bien, los diseños 2k que vimos
    anteriormente permitían estudiar los términos de
    interacción (los bjl), pero no los términos
    cuadráticos puros (los bjj).

157
Diseños para ajustar modelos de primer orden
  • Una solución que permite evaluarlos es añadir
    observaciones en el centro del diseño (xi 0
    para todo i).
  • Estos puntos centrales proveen grados de libertad
    adicionales para estimar el error, mantienen la
    ortogonalidad del diseño y permiten estimar el
    efecto de los términos cuadráticos puros (aunque
    estos se confunden entre si).

158
Diseños para ajustar modelos de primer orden
  • Veamos todo esto a través de las matrices de
    diseño de un experimento 22.

b11 y b22 están confundidos entre si y con b0
b11 y b22 están confundidos entre si, pero no
con b0.
159
Diseños para ajustar modelos de primer orden
  • Es claro de las tablas que los puntos centrales
    influyen solo en la estimación de la media
    general b0.
  • Note que el diseño con los puntos centrales sigue
    siendo ortogonal, por lo que el algoritmo de los
    signos es válido.

160
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
  • La construcción de la tabla de análisis de
    varianza es similar a la del diseño 2k
  • Como siempre, la suma de cuadrados totales
  • Para los efectos lineales bi (i 1,,k) tenemos
  • La suma de cuadrados del error es

161
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)
  • La diferencia fundamental es que la suma de
    cuadrados del error se divide en tres
  • Suma de cuadrados de la interacción
  • La de los términos cuadráticos puros
  • El error puro que se usa para la prueba

162
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)
  • En las expresiones anteriores los subíndices f se
    refieren a los puntos que conforman el diseño
    factorial base, mientras que los subíndices c se
    refieren a los puntos centrales. Así por ejemplo
    nf 2k es el número de puntos en el diseño
    factorial y nc es el número de puntos centrales.
    Finalmente n nf nc el número total de
    observaciones.

163
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)
  • Ejemplo 9 Se desea determinar el punto donde la
    densidad del producto elaborado por un proceso se
    hace máxima. Las variables que el ingeniero de
    proceso puede manipular son la presión y la
    temperatura. Actualmente, el proceso opera a
    530 psi y 130 C, y el ingeniero decide utilizar
    un diseño 22 con 4 puntos centrales, para luego
    determinar su ajuste.

164
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)
  • Los puntos de operación y los valores de densidad
    obtenidos en ellos pueden verse en la tabla
    anexa. Note que se utilizaron las condiciones de
    operación actuales del sistema como punto central.

165
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)
  • De la tabla de análisis de varianza es claro que
    no hay evidencia de curvatura.

166
Falta de ajuste en el modelo de primer orden
(cont)
  • Dos situaciones son posibles a este punto
  • Si ningún término de segundo orden es
    significativo entonces estamos lejos de un máximo
    local de la función y debemos cambiar nuestra
    región de operación.
  • En cambio, si algún término de segundo orden es
    significativo entonces debemos extender nuestro
    diseño.
  • Estudiaremos cada una de las dos posibilidades.

167
Dirección de máximo cambio
  • Si nos encontramos lejos del óptimo nos interesa
    cambiar nuestra región de operación en la forma
    más eficiente posible.
  • Recordemos que la dirección de máximo crecimiento
    de una función viene dada por su gradiente,
    mientras que la de máximo decrecimiento es la
    dirección opuesta al gradiente.

168
Dirección de máximo cambio (cont)
  • En nuestro caso podemos aproximar el gradiente de
    la función en el punto de operación (centro del
    diseño) por
  • Esta expresión es válida tanto para el modelo de
    primer orden como para el de segundo.
    Demuéstrelo!

169
Dirección de máximo cambio (cont)
  • Esto quiere decir que para incrementar la
    respuesta lo más rápido posible hay que modificar
    el punto de operación de tal manera que por cada
    cambio de b1 unidades (codificadas) en la
    variable x1 hay que cambiar la variable x2 en b2
    unidades (codificadas), la variable x3 en b3
    unidades (codificadas) y así sucesivamente.

170
Dirección de máximo cambio (cont)
  • Como lo que interesa es la dirección del vector
    (y no su magnitud), pueden usarse también el
    vector unitario o un vector con una coordenada
    unitaria.
  • Una vez encontrado el gradiente se realizan
    experimentos sobre esta dirección hasta que la
    misma deje de ser óptima, obteniéndose así un
    nuevo punto de operación a investigar.

171
Dirección de máximo cambio (cont)
  • Ejemplo 9 (continuación) en base a los
    resultados de la regresión tenemos
  • de lo cual sabemos que para incrementar la
    densidad tenemos que disminuir la presión en 6,4
    unidades codificadas por cada incremento en la
    temperatura de 14,1 unidades codificadas.

172
Dirección de máximo cambio (cont)
  • Ahora bien, si escribimos las ecuaciones de
    codificación y las despejamos tenemos
  • De los cual tenemos que una unidad codificadas de
    presión representa 6 psi y una unidad codificada
    de temperatura equivale a 4C.

173
Dirección de máximo cambio (cont)
  • Así pues, por cada psi en que reduzcamos la
    presión debemos aumentar la temperatura en
  • Supongamos ahora que el ingeniero de planta
    considera razonable variar la presión en 5 psi
    entre experimentos.

174
Dirección de máximo cambio (cont)
  • La tabla muestra los nuevos puntos de
    experimentación y los resultados obtenidos.
    Ellos sugieren utilizar una presión de 485 psi y
    una temperatura de 196C como centro para un
    nuevo diseño.

175
Dirección de máximo cambio (cont)
  • Podemos ver un gráfico de los experimentos.

176
Diseños para ajustar modelos de segundo orden
  • Si existe falta de ajuste en el modelo de primer
    orden es necesario modificar nuestro de diseño
    experimental de modo de poder estimar todos los
    coeficientes bij y así apreciar la geometría del
    espacio en detalle.
  • Aunque existen varias alternativas, vamos a
    estudiar principalmente los diseños centrales
    compuestos.

177
Diseños centrales compuestos
  • Un diseño central compuesto consiste en un diseño
    factorial 2k codificado en la forma usual
    aumentado por nc puntos centrales y por 2k puntos
    axiales ubicados en las coordenadas codificadas
    (a,0,,0), (0,a,,0), , (0,0,,a) donde a es
    un valor a escoger.

178
Diseños centrales compuestos (cont)
  • La representación gráfica y la matriz de diseño
    para k 2, a 1,414 y nc 3 son

179
Diseños centrales compuestos (cont)
  • Note que si un diseño 2k probó tener problemas de
    ajuste, y si se supone que las condiciones en el
    sistema no han cambiado, basta con correr los
    puntos axiales para obtener el diseño central
    compuesto.
  • Esto hace que sean relativamente económicos y por
    tanto que tengan gran popularidad.

180
Diseños centrales compuestos (cont)
  • Los diseños centrales compuestos son ortogonales
    en los términos lineales y de interacción.
  • Los estimadores de los términos cuadráticos puros
    son dependientes entre si, pero ortogonales al
    resto. Ahora bien, es imposible lograr
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