Title: POLIEDROS Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano).
1POLIEDROSEtimologicamente, a palavra Poliedro
deriva dos termos gregos Poli (Muitos) e hedro
(plano).
SUGESTÃO DE AULA PARA CLASSES DO ENSINO
MÉDIO PROF. ILYDIO P. DE SÁ
2Atividade
POLIEDROS
- a. Cite uma característica comum a todos os
sólidos geométricos vistos acima.
b. Dê três exemplos de objetos do mundo real que
podem ser considerados poliedros.
3DEFINIÇÃO
- De forma simplificada, podemos dizer que
poliedros são sólidos geométricos limitados por
faces que são polígonos planos.
4Atividade
- Observe os seguintes poliedros
- Imagine que os poliedros acima estão sobre um
mesmo plano. Quais deles não conseguem ficar
apoiados sobre alguma de suas faces?
5Definição
- Aos poliedros que ficarem totalmente contidos num
mesmo semi-plano dos definidos por qualquer de
suas faces, denominamos CONVEXO. Nos casos
contrários o chamamos de poliedro CÔNCAVO. - Salvo qualquer menção em contrário, estaremos
sempre nos referindo a poliedros convexos.
6(No Transcript)
7Atividade
- Na figura a seguir temos representado um poliedro
e alguns de seus elementos estão indicados.
a. Como podemos definir cada um desses elementos?
b. Quantas faces, arestas e vértices tem esse
poliedro?
c. Qual a quantidade mínima de faces que devem
concorrer num mesmo vértice?
O número de faces que concorrem num mesmo
vértice é denominado de ordem desse vértice.
8FÓRMULA DE EULER (1750)
- Conte o número de vértices, faces e arestas dos
poliedros ao lado e indique na tabela abaixo
Poliedro Nº de vértices (V) Nº de faces (F) Nº de arestas (A)
1
2
3
4
5 5 8
10 7 15
10 12 20
13 11 22
Consegue perceber alguma relação entre esses
elementos?
9CONCLUSÃO
- Em todos os poliedros convexos se verifica a
relação
V F A 2
Esta é a relação de Euler
10- Existem ainda outros elementos importantes dos
poliedros, como
- Como você define a diagonal do poliedro?
- E plano diagonal?
11POLIEDROS REGULARES
- Os poliedros ditos Platônicos, em homenagem a
Platão (séc. IV a. C.) são os que apresentam
faces de mesmo tipo e vértices de mesma ordem. - Os poliedros ditos regulares, além de serem
Platônicos, possuem faces que são polígonos
regulares.
12TETRAEDRO REGULAR
- É formado por 4 triângulos eqüiláteros. Possui 4
faces, 4 vértices e 6 arestas.
13OCTAEDRO REGULAR
- Formado por oito triângulos eqüiláteros. É
compostos por 8 faces, 12 arestas e 6 vértices.
14ICOSAEDRO REGULAR
- Formado por vinte triângulos eqüiláteros. Possui
20 faces, 30 arestas e 12 vértices.
15HEXAEDRO REGULAR
- É Formado por seis quadrados. É composto por 6
faces, 12 arestas e 8 vértices.
16DODECAEDRO REGULAR
- É formado por doze pentágonos regulares. Possui
12 faces, 30 arestas e 20 vértices.
17Planificações dos poliedros regulares
18Por que só existem CINCO poliedros regulares?
Já os gregos reconheciam que só podem existir 5
sólidos platônicos, logo só existem também 5
poliedros regulares. Vamos tentar verificar que
isso é verdade. Cada ângulo poliédrico
(constituído por todas as faces que convergem num
vértice) terá de ter menos de 360 graus. Por
outro lado, cada um desses ângulos terá de ter
pelo menos 3 faces . Logo as faces só podem ser
triângulos (âng. interno 60º), quadrados (âng.
internos 90º) e pentágonos (âng. interno 108º).
Repare-se que com Hexágonos regulares tal seria
um absurdo a amplitude dos seus ângulos internos
é 120º e... 3 vezes 120º dá 360º!!!
19Analisemos, individualmente, cada um dos
casos Triângulos eqüiláteros Como cada
ângulo interno é de 60º pode existir em cada
vértice 3, 4 ou 5 triângulos. Logo 3
triângulos em cada vértice obtém-se um
Tetraedro (1) 4 triângulos em cada vértice
obtém-se um Octaedro (2) 5 triângulos em cada
vértice obtém-se um Icosaedro (3)
Quadrados Como cada ângulo interno mede 90º só
pode existir em cada vértice ter 3 quadrados.
Logo, tem-se um cubo (4) Pentágonos Como
cada ângulo interno mede 108º só podem ter 3 em
cada vértice, temos o Dodecaedro (5)
20(No Transcript)
21Contagem dos elementos dos poliedros regulares
(Platônicos)
Poliedro N.º de Faces N.º de Arestas N.º de Vértices
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
4 6 4
6 12 8
8 12 6
12 30 20
20 30 12
22Poliedros no cotidiano
- Em ornamentações, luminárias, prédios, telhados,
etc. - As bolas de futebol que são poliedros formados
por pentágonos e hexágonos. - Formas naturais de minerais e pedras preciosas.
- Alguns vírus (verrugas e poliomielite) têm a
forma de um icosaedro. - As colméias das abelhas são prismas hexagonais.
23ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL
24No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base
pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o
poliedro resultante tem 12 faces pentagonais.
25RESUMINDO E CONTANDO BOLAS DE FUTEBOL
(ELEMENTOS)
As bolas de futebol são poliedros Arquimedianos
(inflados), construídos a partir de invenção de
Leonardo da Vinci. Elas são formadas por 12
pentágonos (polígonos pretos na figura) e 20
hexágonos (polígonos brancos na figura). Os
demais elementos você já sabe calcular. Vejamos
26(No Transcript)
27- Em obras de arte, como essa, de Salvador Dali.
28(No Transcript)
29(No Transcript)
30(No Transcript)
31(No Transcript)
32(No Transcript)
33Referências Lima, E. L., Carvalho, P. C. P.,
Wagner, E. e Morgado, A. C., A Matemática do
Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática,
Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de
Janeiro, 1998. http//webs.adam.es/rllorens/picu
ad/exapenta/exapentas.htm http//www.dm.ufscar.b
r/hp/hp153/hp153001/hp153001.html