POLIEDROS Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano). - PowerPoint PPT Presentation

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POLIEDROS Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano).

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POLIEDROS Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano). SUGEST O DE AULA PARA CLASSES DO ENSINO M DIO – PowerPoint PPT presentation

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Title: POLIEDROS Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano).


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POLIEDROSEtimologicamente, a palavra Poliedro
deriva dos termos gregos Poli (Muitos) e hedro
(plano).
SUGESTÃO DE AULA PARA CLASSES DO ENSINO
MÉDIO PROF. ILYDIO P. DE SÁ
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Atividade
POLIEDROS
  • a. Cite uma característica comum a todos os
    sólidos geométricos vistos acima.

b. Dê três exemplos de objetos do mundo real que
podem ser considerados poliedros.
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DEFINIÇÃO
  • De forma simplificada, podemos dizer que
    poliedros são sólidos geométricos limitados por
    faces que são polígonos planos.

4
Atividade
  • Observe os seguintes poliedros
  • Imagine que os poliedros acima estão sobre um
    mesmo plano. Quais deles não conseguem ficar
    apoiados sobre alguma de suas faces?

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Definição
  • Aos poliedros que ficarem totalmente contidos num
    mesmo semi-plano dos definidos por qualquer de
    suas faces, denominamos CONVEXO. Nos casos
    contrários o chamamos de poliedro CÔNCAVO.
  • Salvo qualquer menção em contrário, estaremos
    sempre nos referindo a poliedros convexos.

6
(No Transcript)
7
Atividade
  • Na figura a seguir temos representado um poliedro
    e alguns de seus elementos estão indicados.

a. Como podemos definir cada um desses elementos?
b. Quantas faces, arestas e vértices tem esse
poliedro?
c. Qual a quantidade mínima de faces que devem
concorrer num mesmo vértice?
O número de faces que concorrem num mesmo
vértice é denominado de ordem desse vértice.
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FÓRMULA DE EULER (1750)
  • Conte o número de vértices, faces e arestas dos
    poliedros ao lado e indique na tabela abaixo

Poliedro Nº de vértices (V) Nº de faces (F) Nº de arestas (A)
1
2
3
4
5 5 8
10 7 15
10 12 20
13 11 22
Consegue perceber alguma relação entre esses
elementos?
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CONCLUSÃO
  • Em todos os poliedros convexos se verifica a
    relação

V F A 2
Esta é a relação de Euler
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  • Existem ainda outros elementos importantes dos
    poliedros, como
  1. Como você define a diagonal do poliedro?
  2. E plano diagonal?

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POLIEDROS REGULARES
  • Os poliedros ditos Platônicos, em homenagem a
    Platão (séc. IV a. C.) são os que apresentam
    faces de mesmo tipo e vértices de mesma ordem.
  • Os poliedros ditos regulares, além de serem
    Platônicos, possuem faces que são polígonos
    regulares.

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TETRAEDRO REGULAR
  • É formado por 4 triângulos eqüiláteros. Possui 4
    faces, 4 vértices e 6 arestas.

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OCTAEDRO REGULAR
  • Formado por oito triângulos eqüiláteros. É
    compostos por 8 faces, 12 arestas e 6 vértices.

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ICOSAEDRO REGULAR
  • Formado por vinte triângulos eqüiláteros. Possui
    20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

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HEXAEDRO REGULAR
  • É Formado por seis quadrados. É composto por 6
    faces, 12 arestas e 8 vértices.

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DODECAEDRO REGULAR
  • É formado por doze pentágonos regulares. Possui
    12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

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Planificações dos poliedros regulares
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Por que só existem CINCO poliedros regulares?
Já os gregos reconheciam que só podem existir 5
sólidos platônicos, logo só existem também 5
poliedros regulares. Vamos tentar verificar que
isso é verdade. Cada ângulo poliédrico
(constituído por todas as faces que convergem num
vértice) terá de ter menos de  360 graus. Por
outro lado, cada um desses ângulos terá de ter
pelo menos 3 faces . Logo as faces só podem ser
triângulos (âng. interno 60º), quadrados (âng.
internos 90º) e pentágonos (âng. interno 108º).
Repare-se que com Hexágonos regulares tal seria
um absurdo a amplitude dos seus ângulos internos
é 120º  e...  3 vezes 120º dá 360º!!!
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Analisemos, individualmente, cada um dos
casos Triângulos eqüiláteros Como cada
ângulo interno é de 60º pode existir em cada
vértice 3, 4 ou 5 triângulos. Logo  3
triângulos em cada vértice obtém-se um 
Tetraedro (1) 4 triângulos em cada vértice 
obtém-se um  Octaedro (2) 5 triângulos em cada
vértice obtém-se um  Icosaedro (3)
Quadrados Como cada ângulo interno mede 90º só
pode existir em cada vértice ter 3 quadrados.
Logo, tem-se um cubo (4) Pentágonos Como
cada ângulo interno mede 108º só podem ter 3 em
cada vértice,  temos o  Dodecaedro (5)
20
(No Transcript)
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Contagem dos elementos dos poliedros regulares
(Platônicos)
Poliedro   N.º de Faces   N.º de Arestas   N.º de Vértices
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
4 6 4
6 12 8
8 12 6
12 30 20
20 30 12
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Poliedros no cotidiano
  • Em ornamentações, luminárias, prédios, telhados,
    etc.
  • As bolas de futebol que são poliedros formados
    por pentágonos e hexágonos.
  • Formas naturais de minerais e pedras preciosas.
  • Alguns vírus (verrugas e poliomielite) têm a
    forma de um icosaedro.
  • As colméias das abelhas são prismas hexagonais.

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ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL
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No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base
pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o
poliedro resultante tem 12 faces pentagonais.
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RESUMINDO E CONTANDO BOLAS DE FUTEBOL
(ELEMENTOS)
As bolas de futebol são poliedros Arquimedianos
(inflados), construídos a partir de invenção de
Leonardo da Vinci. Elas são formadas por 12
pentágonos (polígonos pretos na figura) e 20
hexágonos (polígonos brancos na figura). Os
demais elementos você já sabe calcular. Vejamos
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(No Transcript)
27
  • Em obras de arte, como essa, de Salvador Dali.

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(No Transcript)
29
(No Transcript)
30
(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
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Referências Lima, E. L., Carvalho, P. C. P.,
Wagner, E. e Morgado, A. C., A Matemática do
Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática,
Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de
Janeiro, 1998. http//webs.adam.es/rllorens/picu
ad/exapenta/exapentas.htm http//www.dm.ufscar.b
r/hp/hp153/hp153001/hp153001.html
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